Question

已知：如圖，二次函數(shù)的圖象是由y=-x²向右平移1個單位，再向上平移4個單位所得到，這時圖象與x軸的交點為A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P是拋物線對稱軸l上一動點，求使AP+CP最小的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換,軸對稱-最短路線問題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)拋物線平移的規(guī)律（左加右減，上加下減）易得平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-（x-1）²+4；
（2）先確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點A、B和C點坐標(biāo)，連結(jié)BC交直線x=1于點P，利用對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可得此時AP+CP的值最小，再利用待定系數(shù)法求BC的解析式，然后求直線BC和直線x=1的交點即可得到P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y=-x²向右平移1個單位再向上平移4個單位所得拋物線解析式為y=-（x-1）²+4；
（2）當(dāng)y=0時，-（x-1）²+4=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0）、B（3，0），
當(dāng)x=0時，y=-（x-1）²+4=-1+4=3，則C（0，3），
拋物線y=-（x-1）²+4的對稱軸為直線x=1，點A與點B關(guān)于直線x=1對稱，
連結(jié)BC交直線x=1于點P，如圖，則PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴此時AP+CP的值最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，3）分別代入得

3k+b=0 b=3

，解得

k=-1 b=3

，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時，y=-x+3=2，
∴P點坐標(biāo)為（1，2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了利用對稱解決最短路線問題．