Question

如圖，直線y=2x-2分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于點(diǎn)C，且S_△AOC=8．
（1）求雙曲線解析式；
（2）在C點(diǎn)右側(cè)的雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使∠PBC=45°？若存在，求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）先由直線y=2x-2分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，得出B（1，0），A（0，-2）．再根據(jù)S_△AOC=8，求出點(diǎn)C橫坐標(biāo)是8，代入y=2x-2求出縱坐標(biāo)為14，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

k

x

，利用待定系數(shù)法即可求出雙曲線的解析式為y=

112

x

；
（2）在△OAB內(nèi)部作∠ABD=45°，交y軸于點(diǎn)D，延長DB交雙曲線于P．先在直角△OAB中，求出tan∠OBA=

OA

OB

=2，根據(jù)兩角差的正切公式得出tan∠OBD=tan（∠OBA-∠ABD）=

tan∠OBA-tan∠ABD

1+tan∠OBA•tan∠ABD

=

2-1

1+2×1

=

1

3

，那么OD=

1

3

OB=

1

3

．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=

1

3

x-

1

3

．將y=

1

3

x-

1

3

代入y=

112

x

，求出x的值，如果x的值大于C點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，那么在C點(diǎn)右側(cè)的雙曲線上存在點(diǎn)P，否則不存在．

解答：解：（1）∵直線y=2x-2分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，
∴B（1，0），A（0，-2）．
設(shè)C（a，b），
∵S_△AOC=8，
∴

1

2

×2•a=8，
解得a=8，
當(dāng)a=8時(shí)，b=2×8-2=14，
∴C（8，14），
∴k=8×14=112，
∴雙曲線的解析式為y=

112

x

；

（2）如圖，在△OAB內(nèi)部作∠ABD=45°，交y軸于點(diǎn)D，延長DB交雙曲線于P．
∵在直角△OAB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，
∴tan∠OBA=

OA

OB

=2，
∴tan∠OBD=tan（∠OBA-∠ABD）=

tan∠OBA-tan∠ABD

1+tan∠OBA•tan∠ABD

=

2-1

1+2×1

=

1

3

，
∴

OD

OB

=

1

3

，
∴OD=

1

3

OB=

1

3

．
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，
∵B（1，0），D（0，-

1

3

），
∴

m+n=0 n=- 1 3

，
解得

m= 1 3 n=- 1 3

，
∴直線BD的解析式為y=

1

3

x-

1

3

．
將y=

1

3

x-

1

3

代入y=

112

x

，得

1

3

x-

1

3

=

112

x

，
整理得，x²-x-336=0，
解得x=

1± 1345

2

，
∵

1- 1345

2

＜8，不合題意舍去，

1+ 1345

2

＞8，符合題意，
當(dāng)x=

1+ 1345

2

時(shí)，y=

1

3

×

1+ 1345

2

-

1

3

=

-1+ 1345

6

，
∴在C點(diǎn)右側(cè)的雙曲線上存在點(diǎn)P，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1+ 1345

2

，

-1+ 1345

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．同時(shí)考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，兩角差的正切公式，本題有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合是解決（2）的關(guān)鍵．