Question

正方形ABCD中過點(diǎn)B作一條直線l與AD交于點(diǎn)M，分別過A、C、D作直線l的垂線，垂足分別為E、F、G．求證：CF=AE+DG．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)

專題：

分析：作DN⊥CF于N，先求得四邊形DGFN是矩形，從而求得FN=DG，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=CD，進(jìn)而求得∠BAE=∠CBF=∠DCN，∠AEB=∠DNC，證△ABE≌△CDN，推出AE=CN，即可證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，作DN⊥CF于N，
∵AE⊥直線l，CF⊥直線l，
∴四邊形DGFN是矩形，
∴FN=DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，
∵AE⊥直線l，CF⊥直線l，
∴∠CFB=∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠BCF+∠DCN=∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠DCN，
∴∠BAE=∠DCN，
在△ABE和△CDN中，

∠BAE=∠DCN ∠AEB=∠DNC=90° AB=CD

∴△ABE≌△CDN（AAS），
∴AE=CN，
∴CN+FN=AE+DG，
即CF=AE+DG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是推出AE=CN，F(xiàn)N=GD．