Question

【題目】已知如圖，直線y=﹣ x+4 與x軸相交于點A，與直線y= x相交于點P．

（1）求點P的坐標；

（2）動點E從原點O出發(fā)，沿著O→P→A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設運動t秒時， F的坐標為（a，0），矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．直接寫出： S與a之間的函數(shù)關系式

（3）若點M在直線OP上，在平面內(nèi)是否存在一點Q,使以A，P,M，Q為頂點的四邊形為矩形且滿足矩形兩邊AP:PM之比為1: 若存在直接寫出Q點坐標。若不存在請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）； (2)；（3）

【解析】

（1）聯(lián)立兩直線解析式，求出交點P坐標即可；

（2）由F坐標確定出OF的長，得到E的橫坐標為a，代入直線OP解析式表示出E縱坐標，即為EF的長，分兩種情況考慮：當時，矩形EBOF與三角形OPA重疊部分為直角三角形OEF，表示出三角形OEF面積S與a的函數(shù)關系式；當時，重合部分為直角梯形面積，求出S與a函數(shù)關系式.

（3）根據(jù)（1）所求，先求得A點坐標,再確定AP和PM的長度分別是2和2，又由OP=2，得到P怎么平移會得到M，按同樣的方法平移A即可得到Q.

解：（1）聯(lián)立得：，解得：；

∴P的坐標為；

（2）分兩種情況考慮：

當時，由F坐標為（a，0），得到OF=a，

把E橫坐標為a，代入得：即

此時

當時，重合的面積就是梯形面積，

F點的橫坐標為a，所以E點縱坐標為

M點橫坐標為：-3a+12，

∴

所以；

（3）令中的y=0，解得：x=4，則A的坐標為（4,0）

則AP= ,則PM=2

又∵OP=

∴點P向左平移3個單位在向下平移可以得到M1

點P向右平移3個單位在向上平移可以得到M2

∴A向左平移3個單位在向下平移可以得到 Q1(1,-)

A向右平移3個單位在向上平移可以得到 Q1(7,)

所以，存在Q點，且坐標是