Question

已知⊙0的直徑AB=10，有一動點C從A點沿圓周順時針運動到點B，若點D為

AC

的三個等分點，過點D作DE⊥AB于E，直線AC交直線DB于G，點C，D都不與直徑AB兩端點重合．如圖，若

AD

=

1

3

ADC

=45°時．
（1）求劣弧AD的長；
（2）求DE的長；
（3）求△BCG的面積．

Answer 1

考點：圓周角定理,弧長的計算,解直角三角形

專題：

分析：（1）先求出⊙0的半徑與∠AOD的度數(shù)，再代入弧長公式即可求解；
（2）在等腰直角三角形DOE中，利用銳角三角函數(shù)即可求出DE的長；
（3）先證明△GBC為等腰直角三角形，設(shè)GC=BC=x，則BG=

2

x，再證明GA=GB=

2

x，然后在Rt△ABC中利用勾股定理得出AC²+BC²=AB²，依此列出方程（

2

x+x）²+x²=10²，求出x²=50-25

2

，進而得到△BCG的面積．

解答：解：（1）∵⊙0的直徑AB=10，
∴⊙0的半徑=5，
∵

AD

=45°，
∴∠AOD=45°，
∴劣弧AD=

45π×5

180

=

5

4

π；

（2）∵∠AOD=45°，DE⊥AB，
∴DE=OD•sin45°=

5 2

2

；

（3）∵⊙0的直徑為AB，
∴∠ACB=90°．
∵

AD

=

1

3

ADC

=45°，
∴

ADC

=135°，
∴

CD

=135°-45°=90°，

BC

=180°-135°=45°，
∴∠GBC=45°，∠CAB=22.5°，
∴△GBC為等腰直角三角形，
設(shè)GC=BC=x，則BG=

2

x．
∵∠GBA=45°-22.5°=22.5°=∠GAB，
∴GA=GB=

2

x．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴（

2

x+x）²+x²=10²，
∴x²=50-25

2

，
∴S_△BCG=

1

2

BC•CG=

1

2

x²=

1

2

（50-25

2

）=25-

25 2

2

．

點評：本題考查了弧長的計算，圓周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，難度適中．在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．