【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0.
(1)求證:該方程有兩個實(shí)數(shù)根;
(2)如果拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸交于A、B兩個整數(shù)點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),且m為正整數(shù),求此拋物線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D,設(shè)此拋物線在﹣3≤x≤﹣之間的部分為圖象G,如果圖象G向右平移n(n>0)個單位長度后與直線CD有公共點(diǎn),求n的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2)y=x2+4x+3;(3)≤n≤4;
【解析】
(1)先求出根的判別式△,判斷△的取值范圍,即可得證;
(2)根據(jù)求根公式表示出兩根,由題意,求出m的值,可得拋物線的解析式;
(3)點(diǎn)求出點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式,設(shè)平移后,點(diǎn)A,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′(﹣3+n,0),E′(﹣+n,),根據(jù)點(diǎn)在直線上,求出取值范圍即可.
(1)由根的判別式,可得:△=(3m+1)2﹣4×m×3=(3m﹣1)2.
∵(3m﹣1)2≥0,∴△≥0,∴原方程有兩個實(shí)數(shù)根;
(2)令y=0,那么mx2+(3m+1)x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=﹣.
∵拋物線與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且m為正整數(shù),∴m=1,∴拋物線的解析式為:y=x2+4x+3;
(3)如圖,∵當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴C(0,3).
∵當(dāng)y=0時(shí),x1=﹣3,x2=﹣1.
又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),∴A(﹣3,0),B(﹣1,0).
∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱,∴D(1,0),設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+b,∴,解得:,∴直線CD的表達(dá)式為:y=﹣3x+3.
又∵當(dāng)x=﹣時(shí),y=,∴點(diǎn)E(﹣),∴平移后,點(diǎn)A,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′(﹣3+n,0),E′(﹣+n,),當(dāng)直線y=﹣3x+3經(jīng)過點(diǎn)A′(﹣3+n,0)時(shí),得:﹣3(﹣3+n)+3=0,解得:n=4,當(dāng)直線y=﹣3x+3經(jīng)過點(diǎn)E′(﹣+n,),時(shí),得:﹣3(﹣+n)+3=,解得:n=,∴n的取值范圍是≤n≤4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一條24cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形。
(1)如果腰長是底邊的2倍,那么各邊的長是多少?
(2)能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎?為什么?
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【題目】正方形ABCD的邊長AB=2,E為AB的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),AF分別與DE、BD相交于點(diǎn)M,N,則MN的長為( 。
A. B. ﹣1 C. D.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下四個結(jié)論,其中不正確的結(jié)論是( )
A. abc=0 B. a+b+c>0 C. 3a=b D. 4ac﹣b2<0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們定義:如果兩個等腰三角形的頂角相等,且項(xiàng)角的頂點(diǎn)互相重合,則稱此圖形為“手拉手全等模型”.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊,形象的可以看作兩雙手,所以通常稱為“手拉手模型”.例如,如(1),與都是等腰三角形,其中,則△ABD≌△ACE(SAS).
(1)熟悉模型:如(2),已知與都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且,求證:;
(2)運(yùn)用模型:如(3),為等邊內(nèi)一點(diǎn),且,求的度數(shù).小明在解決此問題時(shí),根據(jù)前面的“手拉手全等模型”,以為邊構(gòu)造等邊,這樣就有兩個等邊三角形共頂點(diǎn),然后連結(jié),通過轉(zhuǎn)化的思想求出了的度數(shù),則的度數(shù)為 度;
(3)深化模型:如(4),在四邊形中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在圖中畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1;(其中A1、B1、C1分別是A、B、C的對應(yīng)點(diǎn),不寫畫法.)
(2)寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo);
(3)求出△A1B1C1的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CD是經(jīng)過頂點(diǎn)C的一條直線,且直線CD經(jīng)過的內(nèi)部,點(diǎn)E,F在射線CD上,已知且.
(1)如圖1,若,,問,成立嗎?說明理由.
(2)將(1)中的已知條件改成,(如圖2),問仍成立嗎?說明理由.
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【題目】如圖,已知∠A=∠D=90°,點(diǎn)E、F在線段BC上,DE與AF交于點(diǎn)O,且AB=DC,BE=CF.求證:
(1)AF=DE
(2)若OP⊥EF,求證:OP平分∠EOF.
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【題目】將正面分別寫著數(shù)字1,2,3的三張卡片(注:這三張卡片的形狀、大小、質(zhì)地,顏色等其他方面完全相同,若背面上放在桌面上,這三張卡片看上去無任何差別)洗勻后,背面向上放在桌面上,從中先隨機(jī)抽取一張卡片,記該卡片上的數(shù)字為x,再把剩下的兩張卡片洗勻后,背面向上放在桌面上,再從這兩張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片,記該卡片上的數(shù)字為y.
(1)用列表法或樹狀圖法(樹狀圖也稱樹形圖)中的一種方法,寫出(x,y)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.
(2)求取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率P.
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