Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=120°，圓心O在AC，⊙O與AB相切于點B，D為弧BC的中點．
（1）求證：AB=BC；
（2）判斷四邊形BOCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）首先連接OB，由⊙O與AB相切于點B，在△ABC中，∠ABC=120°，可求得∠A=∠ACB=30°，則可得AB=BC；
（2）首先連接OD，易證得△BOD與△COD是等邊三角形，則可得OB=OC=CD=BD，即可判定四邊形BOCD是菱形．

解答：（1）證明：連接OB，
∵⊙O與AB相切于點B，
∴OB⊥AB，
∵在△ABC中，∠ABC=120°，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠ACB=30°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=BC；

（2）解：四邊形BOCD是菱形，
連接OD，∵∠A=30°，∠OBA=90°，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D為弧BC的中點．
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD與△COD是等邊三角形，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四邊形BOCD是菱形．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、菱形的判定以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．