Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

4

3

x+k與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且B點的坐標(biāo)為（0，8），O為坐標(biāo)原點，直線AC交線段OB于點C．
（1）求k的值；
（2）以線段OC為邊作正方形OCMN，當(dāng)頂點M在AB上時，求正方形的邊長；
（3）若△AOC沿著AC翻折，使得點O落在AB上．
①求直線AC的解析式；
②P是直線AC上的點，在x軸一方的平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)，C，P，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將B（0，8）代入y=-

4

3

x+k，即可求出k=8；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，x），由點M在AB上可得x=-

4

3

x+8，解方程求出x=

24

7

，即為正方形OCMN的邊長；
（3）①設(shè)C（0，n）．由直線y=-

4

3

x+8與x軸交于A，可得A（6，0）．根據(jù)S_△AOC+S_△ABC=S_△AOB，列出方程

1

2

×6n+

1

2

×10n=

1

2

×6×8，解方程求得n=3，則C點坐標(biāo)為（0，3）．設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，將A（6，0），C（0，3）代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式為y=-

1

2

x+3；
②設(shè)P點坐標(biāo)為（x，-

1

2

x+3）．分兩種情況進(jìn)行討論：Ⅰ）如果OC為菱形的一條邊，那么OP=OC=3或PC=OC=3．根據(jù)兩點間的距離公式列出方程可求解；Ⅱ）如果OC為菱形的一條對角線，那么OC垂直平分PQ，設(shè)OC與PQ交于點O′，由三角形中位線定理得出O′Q=O′P=

1

2

OA=3，進(jìn)而求解即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

4

3

x+k與y軸交于B（0，8），
∴k=8；

（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，x），依題意得
x=-

4

3

x+8，解得x=

24

7

，
即正方形OCMN的邊長為

24

7

；

（3）①設(shè)C（0，n）．
∵直線y=-

4

3

x+8與x軸交于A，
∴A（6，0）．
∵S_△AOC+S_△ABC=S_△AOB，
∴

1

2

×6n+

1

2

×10n=

1

2

×6×8，
解得n=3，
∴C點坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
∵A（6，0），C（0，3），
∴

6m+n=0 n=3

，
解得

m=- 1 2 n=3

，
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x+3；

②存在．設(shè)P點坐標(biāo)為（x，-

1

2

x+3）．
分兩種情況：
Ⅰ）如果OC為菱形的一條邊，那么OP=OC=3或PC=OC=3．
當(dāng)OP=OC=3時，則x²+（-

1

2

x+3）²=3²，
解得x₁=0（舍去），x₂=

12

5

，
∴-

1

2

x+3=-

1

2

×

12

5

+3=

9

5

，
∴點Q₁的縱坐標(biāo)為

9

5

+3=

24

5

，
∴Q₁（

12

5

，

24

5

）；
當(dāng)PC=OC=3時，則x²+（-

1

2

x+3-3）²=3²，
解得x₁=

6 5

5

（舍去），x₂=-

6 5

5

，
∴-

1

2

x+3=-

1

2

×（-

6 5

5

）+3=

3 5

5

+3，
∴點Q₂的縱坐標(biāo)為

3 5

5

+3-3=

3 5

5

，
∴Q₂（-

6

5

5

，

3

5

5

）；
Ⅱ）如果OC為菱形的一條對角線，那么OC垂直平分PQ，設(shè)OC與PQ交于點O′，則O′Q=O′P=

1

2

OA=3，
∴-

1

2

x+3=-

1

2

×3+3=

3

2

，
∴Q₃（-3，

3

2

）．
綜上所述，存在符合條件的點Q，點Q的坐標(biāo)是：Q₁（

12

5

，

24

5

），Q₂（-

6

5

5

，

3

5

5

），Q₃（-3，

3

2

）．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題，其中涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，菱形的性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．