Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長．
（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA=6，OB=8，

∴由勾股定理可求得：AB=10，

由題意知：OQ=AP=t，

∴AC=2t，

∵AC是⊙P的直徑，

∴∠CDA=90°，

∴CD∥OB，

∴△ACD∽△ABO，

∴ ，

∴AD= ，

當(dāng)Q與D重合時(shí)，

AD+OQ=OA，

∴ +t=6，

∴t= ；

（2）

解：當(dāng)⊙Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，如圖1，

OQ=OA﹣QA=4，

∴t= =4s，

∴PA=4，

∴BP=AB﹣PA=6，

過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB相交于點(diǎn)F、G，

連接PF，

∴PE∥OA，

∴△PEB∽△AOB，

∴ ，

∴PE= ，

∴由勾股定理可求得：EF= ，

由垂徑定理可求知：FG=2EF= ．

（3）

解：當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，如圖2，

此時(shí)∠QCA=90°，

∵OQ=AP=t，

∴AQ=6﹣t，AC=2t，

∵∠A=∠A，

∠QCA=∠ABO，

∴△AQC∽△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

∴當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)QC⊥OA時(shí)，

此時(shí)Q與D重合，

由（1）可知：t= ，

∴當(dāng) ＜t≤5時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：0＜t≤ 或 ＜t≤5．

【解析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對應(yīng)邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；　　　�。�2）由于0＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長；
　　　�。�3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種情況，①當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與D重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種情況即可得出t的取值范圍．本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)生需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來分析，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．