Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，AE是⊙O的直徑．
（1）求證：AB•AC=AD•AE；
（2）當(dāng)AB=

2

，∠EAC=45°，AB：AE=

2

：4，求tan∠ACB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）連接BE，由AD是⊙O的內(nèi)接△ABC的高，AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=∠ADC=90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，可得∠E=∠C，即可證得△ABE∽△ADC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AB•AC=AD•AE．
（2）由（1）AB•AC=AD•AE得到AB：AE=AD：AC，結(jié)合勾股定理可以求得答案．

解答：（1）證明：連接BE，
∵AD是⊙O的內(nèi)接△ABC的高，AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（2）解：∵∠EAC=45°，
∴∠B=45°，AB=

2

，
∴AD=BD=1，
由（1）AB•AC=AD•AE得到：AB：AE=AD：AC=

2

：4，
∴AC=4，
根據(jù)勾股定理得：CD=

AC2-AD2

=

42-12

=

15

，
所以tan∠ACB=

AD

CD

=

1

15

=

15

15

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用．此題難度適中，注意線段成比例形式的變化．