Question

【題目】如圖1，點M為直線AB上一動點，△PAB，△PMN都是等邊三角形，連接BN，

(1)求證：AM=BN；

(2)寫出點M在如圖2所示位置時，線段AB、BM、BN三者之間的數量關系，并給出證明；

(3)點M在圖3所示位置時，直接寫出線段AB、BM、BN三者之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BN=AB+BM；證明見解析；（3）BN=BM-AB.

【解析】

(1) 據等邊三角形的性質就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，進而就可以得出△APM≌△PBN，得出結論；

(2) 由（1）中的方法證得△APM≌△BPN，得出圖2中，BN=AB+BM；

(3) 由（1）中的方法證得△APM≌△PBN，得出圖3中，BN=BM-AB；

（1）如圖1示：

證明：∵△PAB和△PMN是等邊三角形，

∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，

∴∠BPA-∠MPB=∠MPN-∠MPB，

∴∠APM=∠BPN．

在△APM和△PBN中

，

∴△APM≌△BPN（SAS），

∴AM=BN.

（2） BN=AB+BM；

如圖2示：

∵△PAB和△PMN是等邊三角形，

∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，

∴∠BPA+∠MPB=∠MPN+∠MPB，

∴∠APM=∠BPN．

在△APM和△PBN中 ，

∴△APM≌△BPN（SAS），

∴AM=BN，

∴BN=AM=AB+BM，即BN=AB+BM.

（3）BN=BM-AB.

如圖3示：

∵△PAB和△PMN是等邊三角形，

∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，

∴∠MPN-∠APN =∠BPA-∠APN

∴∠APM=∠BPN．

在△APM和△PBN中 ，

∴△APM≌△BPN（SAS），

∴AM=BN，

∴BM =AB+AM= AB+ BN，即BN= BM- AB.