Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°°，AC=3，BC=4．

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）在直線AC、BC上分別取一點(diǎn)M、N，使得△AMN≌△ABN，求CN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)： 勾股定理；全等三角形的判定． 

分析： （1）由勾股定理求出AB即可；

（2）分兩種情況：①當(dāng)∠BAN=∠MAN，且AM=AB時(shí)，則BN=MN，且AM=AB=5，求出CM，設(shè)CN=x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當(dāng)∠BAN=∠MAN，且AM=AB時(shí)，則BN=MN，且AM=AB=5，求出CM=8，設(shè)CN=x，則BN=MN=x+4，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===5；

（2）分兩種情況：

①如圖1所示：

當(dāng)∠BAN=∠MAN，且AM=AB時(shí)，有△AMN≌△ABN，

則BN=MN，且AM=AB=5，

∴CM=2，

設(shè)CN=x，

在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，

即2²+x²=（4﹣x）²，

解得：x=，

∴CN=；

②如圖2所示：

當(dāng)∠BAN=∠MAN，且AM=AB時(shí)，有△AMN≌△ABN，

則BN=MN，且AM=AB=5，

∴CM=8，

設(shè)CN=x，則BN=MN=x+4，

在Rt△MCN中，MC²+CN²=MN²，

即8²+x²=（4+x）²，

解得：x=6，

∴CN=6；

綜上所述：CN的長(zhǎng)為或6．