Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果點P 的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為和諧點。

（1）求函數的圖像上和諧點的坐標；

（2）若二次函數y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（，），當0≤x≤m時，函數y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2≤m≤4

【解析】

（1）根據和諧點的橫坐標與縱坐標相同，設和諧點的坐標為（a,a）,代入可得關于a的方程，解方程可得答案．
（2）根據和諧點的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根為＝，從而求得a=-1，c＝，所以函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根據函數解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據y的取值，即可確定x的取值范圍．

（1）設和諧點的坐標為（a,a），則a=-2a+1

解得：a=，

∴函數的圖像上和諧點的坐標為.

（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，

由題意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，

又方程的根為，

解得a＝﹣1，c＝．

故函數y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，

如下圖，該函數圖象頂點為（2，1），與y軸交點為（0，﹣3），由對稱性，該函數圖象也經過點（4，﹣3）．

由于函數圖象在對稱軸x＝2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，且當0≤x≤m時，函數y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，

∴2≤m≤4.