【題目】一個(gè)四邊形被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)三角形,如果被分割的兩個(gè)三角形相似,我們把這條對(duì)角線稱為該四邊形的為相似對(duì)角線。

(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,EAD的中點(diǎn),AF=1,連結(jié)CE,CF,求證:EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線。

(2)在四邊形ABCD,BAD=120°,AB=3,AC=,AC平分∠BAD,且AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線,求BD的長(zhǎng)。

(3)如圖2,在矩形ABCD,AB=6,BC=4,點(diǎn)E是線段AB(不取端點(diǎn)A,B)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線,BE的長(zhǎng).(直接寫出答案)

【答案】(1)見解析 (2)3. (3)3

【解析】

(1)如圖1中,只要證明△AEF∽△ECF即可解決問題;
(2)如圖2、圖3中,AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線,有兩種情形:①如圖2中,△ACB≌△ACD時(shí).②如圖3中,當(dāng)△ACD∽△ABC時(shí),分別求解即可;
(3)分三種情形①如圖4中,當(dāng)△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱時(shí),EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.②如圖5中,如圖取AD中點(diǎn)F,連接CF,將△CFD沿CF翻折得到△CFD′,延長(zhǎng)CD′交ABE,易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.③如圖6中,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,作EF⊥ADF,延長(zhǎng)CBFE的延長(zhǎng)線于M,則易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.此時(shí)BE=3;

(1)如圖1中,

∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4,
∵AE=DE=2,AF=1,
,
∵∠A=∠D=90°,
∴△AEF∽△DCE,
∴∠AEF=∠DCE,
∵∠DCE+∠CED=90°,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠FEC=∠A=90°,
,
,
∴△AEF∽△ECF,
∴EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線.
(2)如圖2中,

∵AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線,
∴有兩種情形:
①如圖2中,△ACB≌△ACD時(shí),∵AB=AD=3,BC=CD,
∴AC垂直平分DB,
Rt△AOB中,∵AB=3,∠ABO=30°,
∴BO=ABcos30°=,
∴BD=2OB=3
②如圖3中,當(dāng)△ACD∽△ABC時(shí),可得AC2=ABAD,
∴6=3AD,
∴AD=2,
Rt△ADH中,∵∠HAD=60°,AD=2,
∴AH=AD=1,DH=AH=,
Rt△BDH中,BD=

綜上所述,BD=3
(3)①如圖4中,當(dāng)△AEF和△CEF關(guān)于EF對(duì)稱時(shí),EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線,

設(shè)AE=EC=x,
Rt△BCE中,∵EC2=BE2+BC2,
∴x2=(6-x)2+42,解得x=,
∴此時(shí)BE=AB-AE=6-
②如圖5中,如圖取AD中點(diǎn)F,連接CF,將△CFD沿CF翻折得到△CFD′,延長(zhǎng)CD′交ABE,易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.

由△AEF∽△DFC得到,,

∴AE=,
∴BE=AB-AE=
③如圖6中,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,作EF⊥ECADF,延長(zhǎng)CBFE的延長(zhǎng)線于M,則易證EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.此時(shí)BE=3.

綜上所述,滿足條件的BE的值為3.

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