Question

【題目】如圖，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作優(yōu)弧EF，連接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的順時(shí)針?lè)较颍┣沂?/span>AB＝2，以AB為邊向弧內(nèi)作正三角形ABC．

（1）發(fā)現(xiàn)：不論點(diǎn)A在弧上什么位置，點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離不變，點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離是　 　；點(diǎn)C到直線EF的最大距離是　 　．

（2）思考：當(dāng)點(diǎn)B在直線OE上時(shí)，求點(diǎn)C到OE的距離，在備用圖1中畫(huà)出示意圖，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程．

（3）探究：當(dāng)BC與OE垂直或平行時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)C到OE的距離．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）示意圖見(jiàn)解析，點(diǎn)C到OE的距離為；（3）當(dāng)BC與OE垂直或平行時(shí)，點(diǎn)C到OE的距離為或．

【解析】

（1）連接OB,OA,再連接OC并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G, 易知GO為線段AB的垂直平分線，通過(guò)勾股定理分別計(jì)算CG,GO的長(zhǎng)，得到CO=GO-CG為定值即可；延長(zhǎng)CO交EF于點(diǎn)H，當(dāng)CO⊥EF時(shí)，點(diǎn)C到直線EF的距離最大，最大距離為CH的長(zhǎng)，且CH=CO+OH,只需計(jì)算OH即可求出最大距離CH的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作OE的垂線，垂足為M，易證△OCM∽△OBG，得到，從而得到CM的長(zhǎng)，即為點(diǎn)C到OE的距離；

（3）因?yàn)?/span>OC長(zhǎng)不變，已求得，當(dāng)BC與OE垂直或平行時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作OE的垂線，利用OC不變，通過(guò)解相應(yīng)的直角三角形，得到點(diǎn)C到OE的距離.

解：（1）如圖1，連接OA、OB、OC，延長(zhǎng)OC交AB于點(diǎn)G，

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，

∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝，

在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝，

∴OC＝；

如圖2，延長(zhǎng)CO交EF于點(diǎn)H，

當(dāng)CO⊥EF時(shí)，點(diǎn)C到直線EF的距離最大，最大距離為CH的長(zhǎng)，

∵OE＝OF，CO⊥EF，

∴CO平分∠EOF，

∵∠EOF＝120°，

∴∠EOH＝∠EOF＝60°，

在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，

∴cos60°＝＝，

∴OH＝，

∴CH＝CO+OH＝，

∴點(diǎn)C到直線EF的最大距離是．

故答案為：；．

（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在直線OE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作OE的垂線，垂足為M

由OA＝OB，CA＝CB可知，

點(diǎn)O，C都在線段AB的垂直平分線上，

過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為G，

則G為AB中點(diǎn)，直線CG過(guò)點(diǎn)O．

∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO

∴△OCM∽△OBG，

∴，

∴，

∴CM＝，

∴點(diǎn)C到OE的距離為．

（3）如圖4，當(dāng)BC⊥OE時(shí)，設(shè)垂足為點(diǎn)M，

∵∠EOF＝120°，

∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，

∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，

∴sin60°＝＝，

∴CM＝CO＝（）＝；

如圖5，當(dāng)BC∥OE時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OE，垂足為N，

∵BC∥OE，

∴∠CON＝∠GCB＝30°，

∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，

∴sin30°＝＝，

∴CN＝CO＝（）＝；

綜上所述，當(dāng)BC與OE垂直或平行時(shí)，點(diǎn)C到OE的距離為或．