【題目】如圖所示,在坐標平面內,點O是坐標原點,A(0,6)、B(2,0),且∠OBA=60°,將△OAB沿直線AB翻折,得到△CAB,點O與點C對應。
(1)求點C的坐標;
(2)動點F從點O出發(fā),以2個單位長度/秒的速度沿折線O—A—C向終點C運動,設△FOB的面積為S(S≠0),點F的運動時間為t秒,求S與t的關系式,并直接寫出t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過點B作x軸垂線,交AC于點E,在點F的運動過程中,當t為何值時,△BEF是以BE為腰的等腰三角形?
【答案】(1)C(3,3);(2)當0<t3時,S=;當3<t6時,S= (3) t=1或t=3時,△BEF是以BE為腰的等腰三角形.
【解析】
(1)連接OC,過C點作CH⊥x軸于H點,易證△OAC是等邊三角形,則OC=OA,在直角△OCH中,求得CH和OH,則C的坐標即可求得;
(2)分成當0<t≤3和3<t≤6兩種情況,利用三角形的面積公式即可求解;
(3)分B是頂角頂點和E是頂角頂點兩種情況進行討論.
(1)連接OC,過C點作CH⊥x軸于H點
∵折疊△OAB,
∴OA=AC,∠OBA=∠CBA=60°,OB=CB,∠CBH=60°
∴△OAC是等邊三角形
∴∠BCH=30°
∴BH=BC=×2=,OH=2+=3,
∵OC=OA=6,∠COH=30°
∴CH=×6=3.
∴C(3,3);
(2)當0<t3時:
OF=2t,S=;
當3<t6時:點F在AC上,
過點F作FG⊥y軸于G,連結OF,BF,
由運動知,AF=2t6,
由折疊知,∠OAC=2∠OAB=60°
∴AG=t3,OG=6(t3)=9t,
S=OB×OG==9-t;
(3)如圖
∵BE∥OA
∴∠ABE=∠OAB=30°
∴∠EBC=30°
∴CE=BE,BE=AE
∴BE=4.
當E是頂角頂點時,
∵∠ABE=30°,∠BAC=30°,則當F運動到A點時,△BEF為等腰三角形,即t=3;
當B是頂角頂點時,即BF=BE時,△BOF≌△BCE,
∴OF=CE=2
∴t=1.
此時,△BEF為等邊三角形。
綜上所述,t=1或t=3時,△BEF是以BE為腰的等腰三角形.
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【題目】甲,乙兩家服裝商店銷售同一品牌的西裝和領帶,西裝定價都是每套200元,領帶定價都是每條40元.現(xiàn)兩家商店都在促銷:甲店:買一套西裝送一條領帶;乙店:西裝和領帶都按定價的90%付款.
學校合唱團要購買西裝20套,領帶條(),由后勤謝老師負責購買,請為謝老師出謀劃策:
(1)若只在一家商店購買,當時,謝老師選擇哪家商店購買西裝和領帶更劃算?
(2)若只在一家商店購買,請用含的代數(shù)式分別表示在兩家商店的花費;
(3)當時,請設計最省錢的購買方案并求出最少的花費是多少.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉,使點A恰好落在BC邊上的A1處,則點C的對應點C1的坐標為( 。
A. (﹣) B. (﹣) C. (﹣) D. (﹣)
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【題目】如圖:在△ABC中,∠ACB =90°,點D在邊AB上,AD=AC,點E在BC邊上,CE=BD,過點E作EF⊥CD交AB于點F,若AF=2,BC=8,則DF的長為_______
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥AB分別交BC、AC于點D、E,過點E做EF⊥DE,交線段BC的延長線于點F。
(1)求證:CE=CF;
(2)若BD=CE,AB=8,求線段DF的長。
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【題目】對于每個正整數(shù),設表示的末位數(shù)字.例如:(的末位數(shù)字),(的末位數(shù)字),(的末位數(shù)字),…則的值為( )
A.4040B.4038C.0D.4042
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【題目】如圖,正方形ABCD內部有若干個點,用這些點以及正方形ABCD的頂點A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊):
(1)填寫下表:
正方形ABCD內點的個數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | … | n |
分割成的三角形的個數(shù) | 4 | 6 |
|
| … |
|
(2)原正方形能否被分割成2019個三角形?若能,求此時正方形ABCD內部有多少個點?若不能,請說明理由.
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【題目】隨著信息技術的迅猛發(fā)展,人們去商場購物的支付方式更加多樣、便捷.某校數(shù)學興趣小組設計了一份調查問卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調查結果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次活動共調查了 人;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.觀察此圖,支付方式的“眾數(shù)”是“ ”;
(3)在一次購物中,小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
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【題目】設中學生體質健康綜合評定成績?yōu)?/span>x分,滿分為100分.規(guī)定:85≤x≤100為A級,75≤x<85為B級,60≤x<75為C級,x<60為D級.現(xiàn)隨機抽取福海中學部分學生的綜合評定成績,整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)在這次調查中,一共抽取了________名學生,a=________%;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中C級對應的圓心角為________度;
(4)若該校共有2 000名學生,請你估計該校D級學生有多少名?
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