【題目】問題探究:如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.
①BE、CF與EF之間的關(guān)系為:BE+CF EF;(填“>”、“=”或“<”)
②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明.
問題解決:如圖2,在四邊形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=130°,以D為頂點(diǎn)作∠EDF=65°,∠EDF的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【答案】(1)>;(2)EF2=BE2+CF2.理由見解析;(3)EF=BE+CF.理由見解析.
【解析】
(1)如圖1中,延長ED到H,使得DH=DE,連接CH,FH.證明△BDE≌△CDH(SAS),推出BE=CH,利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.
(2)結(jié)論:EF2=BE2+CF2.如圖2中,延長ED到H,使得DH=DE,連接CH,FH.利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題.
(3)結(jié)論:EF=BE+CF.利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形即可解決問題.
解:(1)如圖1中,延長ED到H,使得DH=DE,連接CH,FH.
∵BD=CD,∠BDE=∠CDH,DE=DH,
∴△BDE≌△CDH(SAS),
∴BE=CH,
∵DE=DH,FD⊥EH,
∴FE=FH,
在△FCH中,∵CH+CF>FH,
∴BE+CF>EF.
故答案為>.
(2)結(jié)論:EF2=BE2+CF2.
理由:如圖2中,延長ED到H,使得DH=DE,連接CH,FH.
∵BD=CD,∠BDE=∠CDH,DE=DH,
∴△BDE≌△CDH(SAS),
∴BE=CH,∠B=∠DCH,
∵DE=DH,FD⊥EH,
∴FE=FH,
∵∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCH=90°,
∴∠FCH=90°,
∴FH2=CH2+CF2,
∴EF2=BE2+CF2.
(3)如圖3中,結(jié)論:EF=BE+CF.
理由:∵DB=DC,∠B+∠ACD=180°,
∴可以將△DBE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DCH,A,C,H共線.
∵∠BDC=130°,∠EDF=65°,
∴∠CDH+∠CDF=∠BDE+∠CDF=65°,
∴∠FDE=∠FDH,
∵DF=DF,DE=DH,
∴△FDE≌△FDH(SAS),
∴EF=FH,
∵FH=CF+CH=CF+BE,
∴EF=BE+CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
備用圖
(1)___________;
(2)若點(diǎn)恰好在的角平分線上,求此時(shí)的值:
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)為何值時(shí),為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=+2,D是邊AC上的動(dòng)點(diǎn),BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,連接DE,若△CDE為直角三角形,則BE的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(,0),B(,0),且與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)求∠ACB的度數(shù);
(3)設(shè)點(diǎn)D是所求拋物線第一象限上一點(diǎn),且在對(duì)稱軸的右側(cè),點(diǎn)E在線段AC上,且DE⊥AC,當(dāng)△DCE與△AOC相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,AB=CD=5,AD=BC=13,點(diǎn)E為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△ABE與△A'BE關(guān)于直線BE對(duì)稱,當(dāng)△A'BC為直角三角形時(shí),AE的長為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:我們都知道,
于是,-2x2+40x+5
=-2(x2-20x)+5
=-2(x2-20x+100)+200+5
=-2(x-10)2+205
又因?yàn)?/span>,所以,
所以,-2x2+40x+5有最大值205.
如圖,某農(nóng)戶準(zhǔn)備用長34米的鐵柵欄圍成一邊靠墻的長方形羊圈ABCD和一個(gè)邊長為1米的正方形狗屋CEFG.設(shè)AB=x米.
(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示BC的長(直接寫答案);
(2)設(shè)山羊活動(dòng)范圍即圖中陰影部分的面積為S,試用含x的代數(shù)式表示S,并計(jì)算當(dāng)x=5時(shí)S的值;
(3)試求出山羊活動(dòng)范圍面積S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】重慶市的重大惠民工程﹣﹣公租房建設(shè)已陸續(xù)竣工,計(jì)劃10年內(nèi)解決低收入人群的住房問題,前6年,每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬平方米),與時(shí)間x的關(guān)系是y=x+5,(x單位:年,1≤x≤6且x為整數(shù));后4年,每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬平方米),與時(shí)間x的關(guān)系是y=-x+(x單位:年,7≤x≤10且x為整數(shù)).假設(shè)每年的公租房全部出租完.另外,隨著物價(jià)上漲等因素的影響,每年的租金也隨之上調(diào),預(yù)計(jì),第x年投入使用的公租房的租金z(單位:元/m2)與時(shí)間x(單位:年,1≤x≤10且x為整數(shù))滿足一次函數(shù)關(guān)系如下表:
z(元/m2) | 50 | 52 | 54 | 56 | 58 | … |
x(年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
(1)求出z與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求政府在第幾年投入的公租房收取的租金最多,最多為多少百萬元;
(3)若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬人的住房問題,政府計(jì)劃在第10年投入的公租房總面積不變的情況下,要讓人均住房面積比第6年人均住房面積提高a%,這樣可解決住房的人數(shù)將比第6年減少1.35a%,求a的值.
(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M.
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)F(0,),當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),試求m為何值時(shí),四邊形DMQF是平行四邊形?
(3)點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖.在中,, , ,是的中線,是上的動(dòng)點(diǎn),是邊上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為__________.
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