Question

如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，由A向B運(yùn)動(dòng)（與A、B點(diǎn)不重合），Q是BC延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由C向BC延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與C點(diǎn)重合），過P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC于D．
（1）當(dāng)∠APD=90°時(shí)，求AP的長．
（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD與線段QD相等嗎？如果相等，給以證明；如不相等，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）作PF∥BC交AC于F，由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△APF是等邊三角形，△PFD≌△QCD，由直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）作PF∥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△PFD≌△QCD，就可以得出PD=QD而得出結(jié)論．

解答：解：（1）作PF∥BC交AC于F，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中

∠FPD=∠CQD PF=QC ∠PFD=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴FD=CD．
∵∠APD=90°，且∠A=60°
∴∠PDA=30°，
∴AD=2AP，
∴AD=2AF．
∵AF+FD=2AF，
∴FD=AF．
∴AF=FD=CD．
∴AF=

1

3

AC．
∵AC=12，
∴AF=4，
∴AP=4．
答：AP=4；
（2）PD=QD
理由：作PF∥BC，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中

∠FPD=∠CQD PF=QC ∠PFD=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴PD=QD．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．