Question

如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，FD與AB相交于點M．

（1）求證：∠FMC=∠FCM；

（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；

（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案．

【解答】（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中點，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，

又∵∠ABC=90°，

∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF，

在△DFC和△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS），

∴CF=MF，

∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°，

∴DE∥CM，

∴AD⊥MC．

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質，得出∠DCF=∠AMF是解題關鍵．