Question

某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就減少10件．
（1）直接寫(xiě)出商場(chǎng)銷(xiāo)售這種文具每天的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為

 

；
（2）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2000元？
（3）商場(chǎng)的營(yíng)銷(xiāo)部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷(xiāo)方案：方案A：該文具的銷(xiāo)售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元；方案B：每天銷(xiāo)售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元，請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)銷(xiāo)量=250-10（x-25），列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)（1）式列出方程，進(jìn)而求出即可；
（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤(rùn)，然后進(jìn)行比較．

解答：解：（1）由題意得，銷(xiāo)售量為：y=250-10（x-25）=-10x+500；

（2）由題意可得出：
2000=（x-20）（-10x+500），
整理得出：x²-70x+1200=0，
解得：x₁=30，x₂=40．
答：銷(xiāo)售單價(jià)為30元或40元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2000元；

（3）A方案利潤(rùn)高．理由如下：
w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下，w有最大值，
當(dāng)x=35時(shí)，w_max=2250，
故當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的利潤(rùn)最大；
而A方案中：20＜x≤30，
故當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，
此時(shí)w_A=2000；
B方案中：

-10x+500≥10 x-20≥25

，
故x的取值范圍為：45≤x≤49，
∵函數(shù)w=-10（x-35）²+2250，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=35，
∴當(dāng)x=45時(shí)，w有最大值，
此時(shí)w_B=1250，
∵w_A＞w_B，
∴A方案利潤(rùn)更高．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時(shí)取得．