【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=30°,將AC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°AE,連接BE,CE

1)求證:ADC≌△ABE;

2)求證:

3)若AB=2,點(diǎn)Q在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動,且滿足,直接寫出點(diǎn)Q運(yùn)動路徑的長度.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)推出∠DAC=BAE,則可直接由SAS證明ADC≌△ABE

2)證明BCE是直角三角形,再證DC=BEAC=CE即可推出結(jié)論;

3)如圖2,設(shè)Q為滿足條件的點(diǎn),將AQ繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60度得AF,連接QFBF,QB,DQAF,證ADQ≌△ABF,由勾股定理的逆定理證∠FBQ=90°,求出∠DQB=150°,確定點(diǎn)Q的路徑為過B,DC三點(diǎn)的圓上,求出的長即可.

1)證明:∵∠CAE=DAB=60°,

∴∠CAE-CAB=DAB-CAB

∴∠DAC=BAE,

又∵AD=ABAC=AE,

∴△ADC≌△ABESAS);

2)證明:在四邊形ABCD中,

ADC+ABC=360°-DAB-DCB=270°,

∵△ADC≌△ABE

∴∠ADC=ABE,CD=BE,

∴∠ABC+ABE=ABC+ADC=270°,

∴∠CBE=360°-(∠ABC+ABE=90°,

CE2=BE2+BC2

又∵AC=AE,∠CAE=60°,

∴△ACE是等邊三角形,

CE=AC=AE,

AC2=DC2+BC2;

3)解:如圖2,設(shè)Q為滿足條件的點(diǎn),將AQ繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60度得AF,連接QFBF,QB,DQAF,

則∠DAQ=BAFAQ=QF,AQF為等邊三角形,

又∵AD=AB

∴△ADQ≌△ABFSAS),

AQ=FQBF=DQ,

AQ2=BQ2+DQ2,

FQ2=BQ2+BF2,

∴∠FBQ=90°

∴∠AFB+AQB=360°-(∠QAF+FBQ=210°,

∴∠AQD+AQB=210°

∴∠DQB=360°-(∠AQD+AQB=150°,

∴點(diǎn)Q的路徑為過B,DC三點(diǎn)的圓上,

如圖2,設(shè)圓心為O,則∠BOD=2DCB=60°,

連接DB,則ODBADB為等邊三角形,

DO=DB=AB=2

∴點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為:

練習(xí)冊系列答案
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(1)求A,B兩型桌椅的單價;

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(3)求出總費(fèi)用最少的購置方案.

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1)畫出,直接寫出點(diǎn),的坐標(biāo);

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1)求yx之間的關(guān)系式;

2x,y是關(guān)于t的一元二次方程2t230t+m0的兩個根,求xy的值;

3)在(2)的條件下,求△COD的面積.

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