Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過O、A（4，0）、B（5，5）三點，直線l交拋物線于點B，交y軸于點C（0，﹣4）．點P是拋物線上一個動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P關于直線OB的對稱點恰好落在直線l上，求點P的坐標；

（3）M是線段OB上的一個動點，過點M作直線MN⊥x軸，交拋物線于點N．當以M、N、B為頂點的三角形與△OBC相似時，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝x2﹣4x；（2）P（﹣，）；（3）點N坐標為：（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

（1）依題意設拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式；

（2）先求出直線BC解析式和OB解析式，可求直線l關于直線OB對稱的直線解析式，聯(lián)立方程組可求解；

（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質列出等式，即可求解．

解：（1）設拋物線的解析式為：y＝ax（x﹣4），且過點B（5，5）

∴5＝5a

∴a＝1，

∴拋物線解析式為：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；

（2）∵點B（5，5），點C（0，﹣4），O（0，0）

∴直線BC解析式為：y＝x﹣4，直線OB解析式為：y＝x，

∵C點（0，-4），可得C點關于直線OB的對稱點為（-4，0）

設直線l關于直線OB對稱的直線解析式為y=kx+b,

把（-4，0），（5，5）代入得

解得

∴直線l關于直線OB對稱的直線解析式為y＝，

∴聯(lián)立方程組可得：

∴ 或

∴點P（﹣，）；

（3）如圖，

∵點B（5，5），點C（0，﹣4），O（0，0）

∴OC＝4，BO＝=5，∠BOA＝45°．

設點M（m，m），則點N（m，m2﹣4m），

∴MN＝5m﹣m2，BM＝=（5﹣m），

∵MN∥y軸，

∴∠BMN＝∠BOC＝∠BOA +∠COA =135°．

∵以M、N、B為頂點的三角形與△OBC相似，

①當△BMN∽△BOC

∴，

則＝，

∴m1＝5（舍去），m2＝，

∴點N的坐標為（，﹣），

②當△BMN∽△COB

若，則＝，

∴m1＝5（舍去），m2＝，

∴點N坐標為（，﹣），

綜上所述：點N坐標為：（，﹣）或（，﹣）．