Question

如圖，已知正方形ABCD中，F(xiàn)為BC延長線上的一點(diǎn)，E為CD上的一點(diǎn)，CE=CF，BE的延長線交DF于點(diǎn)G．
（1）求證：BG⊥DF；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過全等三角形△BCE≌△DCF的對應(yīng)角∠EBC=∠FDC、對頂角∠BEC=∠DEG可以證得△BCE∽△DGE，然后由相似三角形的對應(yīng)角相等推知∠BCE=∠DGE=90°，即BG⊥DF；
（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠CFD=∠BEC=60°，再計算出∠EFC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的對應(yīng)角相等），
即∠EBC=∠EDG，
又∵∠BEC=∠DEG，
∴△BCE∽△DGE，
∴∠BCE=∠DGE=90°（相似三角形的對應(yīng)角相等），
即BG⊥DF；

（2）解：連接EF，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CFD=∠BEC=60°，
∵EC=CF，
∴∠EFC=∠CEF=（180°-90°）÷2=45°，
∴∠EFD=60°-45°=15°．

點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△BCE≌△DCF，掌握全等三角形對應(yīng)角相等．