Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時(shí)BQ的長．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理

專題：

分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF，再判斷出EF到BC的距離等于EF的一半，取EF的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥BC與Q，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，先求出EG，GQ，再解直角三角形求出BG，然后根據(jù)BQ=BG+GQ計(jì)算即可得解．

解答：解：∵E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵BC=12，
∴EF=6，
取EF的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥BC與Q，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC邊上的高，AD=6，
∴OQ=EG=

1

2

×6=3，
∴點(diǎn)Q即為所求的使∠EQF=90°的點(diǎn)，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE=OQ=3，
∴四邊形OEQG是正方形，
∴GQ=OQ=3，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴EG是△ABD的中位線，
∴EG=

1

2

AD=3，
∵∠ABC=60°，
∴BG=

3

3

EG=

3

3

×3=

3

，
∴BQ=BG+GQ=3+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，解直角三角形，正方形的判定與性質(zhì)，熟記定理并作輔助線構(gòu)造出直角三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．