Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P為線段DC上的一個動點(diǎn)．設(shè)DP=x，由點(diǎn)A，B，C，P首尾順次相接形成圖形的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍；
（2）設(shè)（1）中函數(shù)圖象的兩個端點(diǎn)分別為M、N，且P為第一象限內(nèi)位于直線MN右側(cè)的一個動點(diǎn)，若△MNP正好構(gòu)成一個等腰直角三角形，請求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若l為經(jīng)過（-1，0）且垂直于x軸的直線，Q為l上的一個動點(diǎn)，使得S_△MNQ=S_△NMP，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)梯形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)線段的和差，可得x的取值范圍；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的關(guān)系，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)等底等高的三角形面積相等，可得CD的長，根據(jù)勾股定理，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由線段的和差，得PC=（4-x），
由梯形的面積公式，得y=-2x+16
x的取值范圍是0＜x＜4；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（a，b），M（0，16），N（4，8），
由△MNP正好構(gòu)成一個等腰直角三角形，得

(a-4)2+(b-8)2=42+(8-16)2① a2+(b-16)2=2[+(8-16)2]②

，化簡，得
a=12-2b  ③．
把③代入①得
5b²-48b+48=0．解得b=

24+4 21

5

，b=

24-4 21

5

（不符合題意要舍去），
a=12-2×

24+4 21

5

=

72-8 21

5

，
P點(diǎn)坐標(biāo)是（

72-8 21

5

，

24+4 21

5

）
（3）由S_△MNQ=S_△NMP，得
CD=PN=4

5

．
過點(diǎn)C作CD⊥MN與D點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，b），設(shè)ND=x，MD=4

5

+x，
由勾股定理，得
NC²-CD²=ND²，即（-1-4）²+（b-8）²-80=x²①，
MC²-CD²=MD²，即（-1）²+（b-16）²-80=（4

5

+x）²②，
②-①，得x=

11-2b

5

，
把x=

11-2b

5

代入①，得
b²-36b-76=0．解得b=38，b=-2，
C點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-2），（-1，38）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了梯形的面積公式，（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出方程組是解題關(guān)鍵，（3）利用等底等高的三角形面積相等得出CD的長是解題關(guān)鍵．