Question

【題目】已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作DB⊥MN于點B，連接CB．

（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖（1），過點C作CE⊥CB，與MN交于點E，則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關系為 ， BD、AB、CB之間的數(shù)量關系為 ．
（2）拓展探究
當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．

（3）解決問題
當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時（點C、D在直線MN兩側(cè)），若此時∠BCD=30°，BD=2時，CB= ．

Answer 1

【答案】
（1）BD=AE,BD+AB= CB
（2）解：證明：如圖2，過點C作⊥CB交MN于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB，

∴BD﹣AB= CB；

（3） ﹣
【解析】解：（1）如圖1，過點C作⊥CB交MN于點E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CE+∠BAC=180°，

∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

∴BD+AB= CB；

所以答案是：BD=AE，BD+AB= CB；（3）如圖3，過點C作⊥CB交MN于點E，

（3）∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°﹣∠DCE，

∠BCD=90°﹣∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD，

∵∠AFB=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

∴BE= CB，

∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB，

∴AB﹣DB= CB；

∵△BCE為等腰直角三角形，

∴∠BEC=∠CBE=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBH=45°

過點D作DH⊥BC，

∴△DHB是等腰直角三角形，

∴BD= BH=2，

∴BH=DH= ，

在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ，

∴CH= DH= × = ，

∴BC=CH﹣BH= ﹣ ；

所以答案是： ﹣ ．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和解直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．