Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t；

①當(dāng)S△ACP＝S△ACN時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，直線AC解析式為y＝x+1；（2）①P（1，4），②P（，）；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，1）或（，）或（，）

【解析】

（1）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法求出b、c，m、n的值，即可得答案；（2）①根據(jù)二次函數(shù)解析式可得N點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)N作NP//AC，根據(jù)平行線間的距離相等可得S△ACP＝S△CAN，設(shè)直線NP的解析式為y=kx+a，由NP//AC可得k=1，把N點(diǎn)坐標(biāo)代入可得a=3，可得直線NP的解析式，聯(lián)立直線NP與二次函數(shù)解析式即可得P點(diǎn)坐標(biāo)；②過P作PS⊥x軸于S，過C作CK⊥PS于K，則∠CKP＝∠PSA＝90°，根據(jù)點(diǎn)A、C、P、的坐標(biāo)可用t表示出CK、PK、PS和AS的長，根據(jù)直角三角形兩銳角的互余關(guān)系可得∠APS＝∠PCK，即可證明△APS∽△PCK，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出t值即可；（3）把二次函數(shù)解析式配方，可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，可求出BD的長，設(shè)點(diǎn)E（m，m+1），可用m表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可表示出EF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EF=BD，列方程求出m的值即可得答案.

（1）將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，

解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，

設(shè)直線AC解析式為y＝mx+n，

∵點(diǎn)A（-1，0）、C（2，3）在直線AC上，

∴，

解得：，

∴直線AC解析式為y＝x+1.

（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，

∴N（0，3），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x+3圖象上，

∴P（t，﹣t2+2t+3），

如圖，過點(diǎn)P作PH//AC，

∵平行線間的距離相等，

∴S△ACP＝S△CAN，

設(shè)直線NP的解析式為y=kx+a，

∴k=1，

把N（0，3）代入得a=3，

∴直線NP的解析式為y=x+3，

聯(lián)立直線NP與拋物線解析式得，

解得：或（舍去），

∴P（1，4）.

②如圖2，過P作PS⊥x軸于S，過C作CK⊥PS于K，則∠CKP＝∠PSA＝90°，

∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），

∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，

∵△ACP是以AC為斜邊的直角三角形，

∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，

∵∠PCK+∠CPK＝90°，

∴∠APS＝∠PCK，

∴△APS∽△PCK，

∴＝，即＝，

解得：t＝，

∵P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動點(diǎn)，

∴﹣1＜t＜2，

∵＞2，

∴t＝，

∴﹣t2+2t+3=，

∴P（，）．

（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)D（1，4），

∴B（1，2），BD＝2，

∵點(diǎn)E在直線AC上，AC解析式為y=x+1，

∴設(shè)點(diǎn)E（m，m+1），

∵B，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

∴EF=BD，

∵EF//BD，BD為拋物線對稱軸，

∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，

∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，

∴，以B，D，E，F為頂點(diǎn)的四邊形能為平行四邊形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，1）或（，）或（，）．