Question

【題目】在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．
（Ⅰ）如圖①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；

（Ⅱ）如圖②，D為優(yōu)弧ADC上一點，且DO的延長線經(jīng)過AC的中點E，連接DC與AB相交于點P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連接OC，如圖①，

∵PC為切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=32°，
∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，
∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；
（Ⅱ）如圖②，

∵點E為AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴∠OEA=90°，
∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，
∴∠C= ∠AOD=53°，
∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°
【解析】（Ⅰ）連接OC，如圖①，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCP=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠CAB=32°，則利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠POC，然后利用互余計算∠P的度數(shù)；（Ⅱ）如圖②，根據(jù)垂徑定理的推論，由點E為AC的中點得到OD⊥AC，則利用三角形外角性質(zhì)得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根據(jù)圓周角定理得到∠C= ∠AOD=53°，然后利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠DPA的度數(shù)．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質(zhì)定理，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑即可以解答此題．