【題目】(12分)如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.
(1)求證:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如圖2.
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′是直角時(shí),求α的度數(shù);
②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù),直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)30°或150°, 的長(zhǎng)最大值為,此時(shí).
【解析】
試題分析: (1)延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,易證△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后運(yùn)用等量代換證明∠AHE=90°即可;
(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°,α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=150°;
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大,AF′=AO+OF′=+2,此時(shí)α=315°.
試題解析:
(1)如圖1,延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,
∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:
(Ⅰ)α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),
∵OA=OD=OG=OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°30°=150°.
綜上所述,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°或150°.
②如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A.O、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,
∴OA=OD=OC=OB=,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=+2,
∵∠COE′=45°,
∴此時(shí)α=315°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程①和②問(wèn)是否存在這樣的n值,使方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方等于方程②的一整數(shù)根?若存在,求出這樣的n值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形和,.
畫出矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的矩形,并寫出的坐標(biāo)為________,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為________;
若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為________,請(qǐng)畫一條直線平分矩形與組成圖形的面積(保留必要的畫圖痕跡).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC分別沿AB,AC翻折得到△ABD 和△AEC,線段BD與AE交于點(diǎn) F,連接BE .
(1)如果∠ABC=16,∠ACB=30°,求∠DAE的度數(shù);
(2)如果BD⊥CE,求∠CAB 的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=(x-1)2-1.
(1)該拋物線的對(duì)稱軸是______________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為____________;
(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表,并在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線;
x | … | … | |||||
y | … | … |
(3)根據(jù)圖象,直接寫出當(dāng)y<0時(shí),x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩位同學(xué)用圍棋子做游戲.如圖所示,現(xiàn)輪到黑棋下子,黑棋下一子后白棋再下一子,使黑棋的個(gè)棋子組成軸對(duì)稱圖形,白棋的個(gè)棋子也成軸對(duì)稱圖形.則下列下子方法不正確的是( ),.
A. 黑(3,7);白(5,3) B. 黑(4,7);白(6,2)
C. 黑(2,7);白(5,3) D. 黑(3,7);白(2,6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為24的等邊三角形ABC中,M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)MB,將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連結(jié)HN.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段HN長(zhǎng)度的最小值是( 。
A. 12B. 6C. 3D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)是正方形的中心,頂點(diǎn),的坐標(biāo)分別為、,把正方形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形,則正方形與正方形重疊部分形成的正八邊形的邊長(zhǎng)為( )
A.
B.
C.
D.
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