Question

（2013•鞍山一模）如圖，已知二次函數y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交與A，B兩點，與y軸交與點C，已知點A的坐標為（-2，0），sin∠ABC=

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5

，點D是拋物線的頂點，直線DC交x軸于點E．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）在直線CD上是否存在一點Q，使以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P是直線y=2x-4上一點，過點P作直線PM垂直于直線CD，垂足為M，若∠MPO=75°，求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先由二次函數的解析式求出點C的坐標，然后在Rt△BOC中，根據sin∠ABC的值得到點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式，利用待定系數法求出解析式，通過對解析式進行配方即可得到頂點D的坐標；
（2）先利用待定系數法求出直線CD的解析式為y=x+8，那么可設Q點的坐標為（x，x+8）．當以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況進行討論：①BQ=BC；②CQ=BC；③QB=QC．然后針對每一種情況，根據兩點間的距離公式列出方程，解方程即可；
（3）先求出直線CD：y=x+8與x軸的交點E的坐標，得到OC=OE=8，∠CEO=45°．設直線y=2x-4與直線CD交于點F，分兩種情況進行討論：①當點P在點F的下方時，過點P作PQ⊥x軸于點Q．根據四邊形內角和定理求出∠MPQ=135°，根據三角形內角和定理求出∠POQ=30°，得到直線OP的解析式為y=

3

3

x，解方程組

y= 3 3 x y=2x-4

即可求出點P的坐標；②當點P在點F的上方時，過點P作PQ⊥x軸于點Q，設直線CD與直線OP交于點G．根據三角形內角和定理及外角的性質得出∠GOQ=60°，得到直線OP的解析式為y=

3

x，解方程組

y= 3 x y=2x-4

即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+8（a≠0）的圖象與y軸交與點C，
∴點C（0，8），即OC=8；
Rt△OBC中，BC=OC÷sin∠ABC=8÷

2 5

5

=4

5

，
OB=

BC2-OB2

=4，
則點B（4，0）．
將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：

4a-2b+8=0 16a+4b+8=0

．
解得

a=-1 b=2

，
故拋物線的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點D（1，9）；

（2）在直線CD上存在點Q，能夠使以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．理由如下：
設直線CD的解析式為y=kx+m，
將C（0，8），D（1，9）代入，
得

m=8 k+m=9

，解得

k=1 m=8

，
則直線CD的解析式為y=x+8．
設Q點的坐標為（x，x+8）．
以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況討論：
①當BQ=BC=4

5

時，有（x-4）²+（x+8）²=80，
整理，得2x²+8x=0，
解得x₁=-4，x₂=0（不合題意，舍去）．
當x=-4時，x+8=4，即此時Q點的坐標為（-4，4）；
②當CQ=BC=4

5

時，有x²+（x+8-8）²=80，
整理，得2x²=80，
解得x₁=2

10

，x₂=-2

10

．
當x=2

10

時，x+8=2

10

+8，即此時Q點的坐標為（2

10

，2

10

+8）；
當x=-2

10

時，x+8=-2

10

+8，即此時Q點的坐標為（-2

10

，-2

10

+8）；
③當QB=QC時，有（x-4）²+（x+8）²=x²+（x+8-8）²，
整理，得8x+80=0，
解得x=-10．
當x=-10時，x+8=-2，即此時Q點的坐標為（-10，-2）．
綜上可知，在直線CD上存在點Q，能夠使以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，此時點Q的坐標為（-4，4）或（2

10

，2

10

+8）或（-2

10

，-2

10

+8）或（-10，-2）；

（3）設直線CD：y=x+8與x軸交于點E，則點E（-8，0），OC=OE=8，∠CEO=45°．
設直線y=2x-4與直線CD交于點F，分兩種情況討論：
①當點P在點F的下方時，如右圖1，過點P作PQ⊥x軸于點Q．
在四邊形EMPQ中，∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°，
當∠MPO=75°時，∠OPQ=135°-75°=60°，∠POQ=30°，則直線OP的解析式為y=

3

3

x．
解方程組

y= 3 3 x y=2x-4

，得

x= 24+4 3 11 y= 4+8 3 11

，
即此時P點的坐標為（

24+4 3

11

，

4+8 3

11

）；
②當點P在點F的上方時，如右圖2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，設直線CD與直線OP交于點G．
在△MPG中，∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°，
∴∠EGO=∠MGP=15°，
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°，
∴直線OP的解析式為y=

3

x．
解方程組

y= 3 x y=2x-4

，得

x=8+4 3 y=8 3 +12

，
即此時P點的坐標為（8+4

3

，8

3

+12）．
綜上可知，點P的坐標為（

24+4 3

11

，

4+8 3

11

）或（8+4

3

，8

3

+12）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，多邊形內角和定理，兩點間的距離公式，兩函數交點坐標的求法等知識，綜合性較強，有一定難度．利用分類討論及數形結合的思想是解題的關鍵．