Question

已知，如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（3，0），點O為坐標原點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得OF+DF最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將點A、C的坐標代入可得出a、c的值，繼而確定拋物線解析式；
（2）作O′使O′與O關(guān)于直線AC對稱，連接O'D，O'D交AC于F，過點F且平行于x的直線l與拋物線交于點P，點P為所求；
（3）設(shè)Q（m，0），且-1≤m≤3，由QE∥AC，可得△BEQ∽△BCA，利用對應邊成比例可得出EH的長，由S=S_△BQC-S_△BEQ，可得S關(guān)于m的表達式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）將點A（3，0），點C（0，3）代入拋物線解析式：

9a-6a+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 c=3

，
故拋物線解析式：y=-x²+2x+3．

（2）存在．
如圖所示：

作O′使O′與O關(guān)于直線AC對稱，連接O'D，O'D交AC于F，過點F且平行于x的直線l與拋物線交于點P，點P為所求．
易求O′（3，3），設(shè)直線O′D的解析式：y=k₁x+b，
則可得：

3k1+b=3 2k1+b=0

，
解得：

k1=3 b=-6

，
故直線O'D的解析式為：y=3x-6
設(shè)直線AC解析式：y=k₂x+3，
將點A（3，0）代入可得：0=3k₂+3，
解得：k₂=-1，
故直線AC的解析式為：y=-x+3，
由

y=-x+3 y=3x-6

得：

x= 9 4 y= 3 4

，即F（

9

4

，

3

4

），
∴直線l：y=

3

4

，
由

y= 3 4 y=-x2+2x+3

得：

x1=1+ 13 2 y1= 3 4

，

x2=1- 13 2 y2= 3 4

，
即P（1+

13

2

，

3

4

）或（1-

13

2

，

3

4

）．

（3）設(shè)Q（m，0），且-1≤m≤3，
作EH⊥x軸于H，

∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴

EH

OC

=

BO

BA

，
即

mEH

3

=

m+1

4

，EH=

3

4

（m+1），
∴S=S_△BQC-S_△BEQ=

1

2

（m+1）×3-

1

2

（m+1）×

3

4

（m+1）=

3

8

（m-1）²+

3

2

，
∵-1≤m≤3，
∴當m=1時，△CAE面積最大，此時Q（1，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱求最短路徑及配方法求二次函數(shù)最值，解答綜合性題目，關(guān)鍵還是基礎(chǔ)知識的掌握，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．