【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2mx+4m﹣8,

1)當x≤2時,函數(shù)值yx的增大而減小,求m的取值范圍.

2)以拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMNMN兩點在拋物線上),請問:△AMN的面積是與m無關的定值嗎?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.

3)若拋物線y=x2﹣2mx+4m﹣8x軸交點的橫坐標均為整數(shù),求整數(shù)m的最小值.

【答案】1m≥2;(2AMN是邊長為2 的正三角形,SAMN=3,與m無關;3m=2

【解析】試題分析:(1)求出二次函數(shù)的對稱軸x=m,由于拋物線的開口向上,在對稱軸的左邊yx的增大而減小,可以求出m的取值范圍.

2)在拋物線內作出正三角形,求出正三角形的邊長,然后計算三角形的面積,得到△AMN的面積是m無關的定值.

3)當y=0時,求出拋物線與x軸的兩個交點的坐標,然后確定整數(shù)m的值.

試題解析:(1)二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8的對稱軸是:x=m

x≤2時,函數(shù)值yx的增大而減小,

x≤2應在對稱軸的左邊,

∴m≥2

2)如圖:頂點A的坐標為(m,-m2+4m-8

△AMN是拋物線的內接正三角形,

MN交對稱軸于點B,tan∠AMB=tan60°=

AB=BM=BN,

BM=BN=a,則AB=a,

M的坐標為(m+aa-m2+4m-8),

M在拋物線上,

a-m2+4m-8=m+a2-2mm+a+4m-8,

整理得:a2-a=0

得:a=a=0舍去)

所以AMN是邊長為2的正三角形,

SAMN=×2×3=3,與m無關;

3)當y=0時,x2-2mx+4m-8=0

解得:,

拋物線y=x2-2mx+4m-8x軸交點的橫坐標均為整數(shù),

m-22+4應是完全平方數(shù),

∴m的最小值為:m=2

考點: 二次函數(shù)綜合題.

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