Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這一點(diǎn)的“互換點(diǎn)”，如（-3，5）與（5，-3）是一對(duì)“互換點(diǎn)”．

（1）任意一對(duì)“互換點(diǎn)”能否都在一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？為什么？

（2）M、N是一對(duì)“互換點(diǎn)”，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求直線MN的表達(dá)式（用含、的代數(shù)式表示）；

（3）在拋物線的圖象上有一對(duì)“互換點(diǎn)”A、B，其中點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(，)，求此拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）不一定（2）直線MN的表達(dá)式為y=﹣x+m+n（3）拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣1

【解析】

試題分析：（1）設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，②當(dāng)ab≠0時(shí)，由可得，于是得到結(jié)論；

（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)A（p，q），則，由直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入y=x2+bx+c得，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）不一定，

設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．

①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，

②當(dāng)ab≠0時(shí)，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），設(shè)直線MN的表達(dá)式為y=cx+d（c≠0）．

則有解得，

∴直線MN的表達(dá)式為y=﹣x+m+n；

（3）設(shè)點(diǎn)A（p，q），則，

∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），由（2）得，

∴p+q=1，

∴，

解并檢驗(yàn)得：p=2或p=﹣1，

∴q=﹣1或q=2，

∴這一對(duì)“互換點(diǎn)”是（2，﹣1）和（﹣1，2），

將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入y=x2+bx+c得，

∴解得 ，

∴此拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣1．