Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，
（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠CMQ=60°不變．

∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由條件得AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

（2）解：設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t

①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t= ；

②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t= ；

∴當(dāng)?shù)? 秒或第 秒時(shí)，△PBQ為直角三角形

（3）解：∠CMQ=120°不變．

∵在等邊三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60°

∴∠PBC=∠ACQ=120°，

又由條件得BP=CQ，

∴△PBC≌△QCA（SAS）

∴∠BPC=∠MQC

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)．（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t．分別就①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)；②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值．（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC．再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能正確解答此題．