【題目】如圖,在ABC中,BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于點M,交BE于點G,AD平分MAC,交BC于點D,交BE于點F.

(1)判斷直線BE與線段AD之間的關(guān)系,并說明理由;

(2)若C=30°,圖中是否存在等邊三角形?若存在,請寫出來并證明;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)BE垂直平分AD,理由見解析;(2)存在,△ABD、△GAE是等邊三角形.

【解析】

(1)根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到∠5=∠C;由AD平分∠MAC,得到∠3=∠4,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BAD=∠ADB,推出△BAD是等腰三角形,于是得到結(jié)論.

(2)根據(jù)∠5=∠C=30°,AM⊥BC,可得∠ABD=60°,∠CAM=60°,進而得到∠ADB=∠4+∠C=60°,∠BAD=60°,依據(jù)∠ABD=∠BDA=∠BAD,可得△ABD是等邊三角形;根據(jù)∠AEG=∠AGE=∠GAE,即可得到△AEG是等邊三角形.

解:(1)BE垂直平分AD,理由:

∵AM⊥BC,

∴∠ABC+∠5=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠ABC+∠C=90°,

∴∠5=∠C;

∵AD平分∠MAC,

∴∠3=∠4,

∵∠BAD=∠5+∠3,∠ADB=∠C+∠4,∠5=∠C,

∴∠BAD=∠ADB,

∴△BAD是等腰三角形,

∵∠1=∠2,

∴BE垂直平分AD;

(2)△ABD、△GAE是等邊三角形.理由:

∵∠5=∠C=30°,AM⊥BC,

∴∠ABD=60°,

∵∠BAC=90°,

∴∠CAM=60°,

∵AD平分∠CAM,

∴∠4=∠CAM=30°,

∴∠ADB=∠4+∠C=60°,

∴∠BAD=60°,

∴∠ABD=∠BDA=∠BAD,

∴△ABD是等邊三角形

Rt△BGM中,∠BGM=60°=∠AGE,

Rt△ACM中,∠CAM=60°,

∴∠AEG=∠AGE=∠GAE,

∴△AEG是等邊三角形.

練習(xí)冊系列答案
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類別

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25

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35

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