Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（,），以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M ，使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與軸，軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A（如圖），連接AM.點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn).

（1）寫出∠AMB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)Q在射線OP上，且OP·OQ=20，過點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交軸于點(diǎn)E.

①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②連接QD，設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△QOD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍.

 

 

Answer 1

（1）90°；（2）①（5，0）；②S，5≤S≤10．

【解析】

試題分析：（1）首先過點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，由點(diǎn)M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，繼而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數(shù)：

如答圖3，過點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)M（，），∴OH=MH=.∴∠MOD=45°.

∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°.

∵OA=OM，∴∠OAM=∠AOM=45°.∴∠AMO=90°.∴∠AMB=90°.

（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長(zhǎng)，又由動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP•OQ=20，可求得OQ的長(zhǎng)，繼而求得答案.

②由OD=2，Q的縱坐標(biāo)為t，即可得S=，然后分別從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，與當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，去分析求解即可求得答案．

試題解析：【解析】
（1）90°.

（2）①由題意，易知：OM=2，OD=2，∴OB=4.

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∵OP·OQ=20，∴OQ=5.

∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5.∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）.

②∵OD=2，Q的縱坐標(biāo)為t，∴S=.

如答圖1，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，

∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，

∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=.

此時(shí)S=.

如答圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，

∴OP=2.

∵OP•OQ=20，∴t=OQ=5.

此時(shí)S=.

∴S的取值范圍為5≤S≤10．

考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)問題；3.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；4.點(diǎn)的坐標(biāo)；5.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；6.數(shù)形結(jié)合思想、分類思想和方程思想的應(yīng)用．