Question

（本題10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點(diǎn)A的雙曲線的一支在第一象限交梯形對角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．

（1）填空：雙曲線的另一支在第 象限，的取值范圍是 ；

（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），請用含有的式子表示陰影部分的面積S．并回答：當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，陰影部分面積S最小？

（3）若，，求雙曲線的解析式．

 

Answer 1

（1）三，k＞0；（2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，陰影部分的面積S最��；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)得到：雙曲線的一支在第一象限，則k＞0，得到另一支在第三象限；

（2）根據(jù)梯形的性質(zhì)，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），再分別把y=1或x=1代入可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，1），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k），然后計(jì)算S陰影部分=S△ACE+S△OBE=，配方得，當(dāng)k=時(shí)，S陰影部分最小值為，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)；

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），由，則2OD=OC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，于是C點(diǎn)坐標(biāo)為（，），得到A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把代入得，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），根據(jù)三角形面積公式由S△OAC=2得到，然后解方程即可求出k的值．

試題解析：（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），

∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

把y=1代入得x=k；把x=1代入得y=k，

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，1），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k），

∴S陰影部分=S△ACE+S△OBE==，

當(dāng)時(shí)，S陰影部分最小，最小值為；

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，

∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最��；

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵，∴2OD=OC，即D點(diǎn)為OC的中點(diǎn)，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

把代入得，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

∵S△OAC=2，∴，∴，∴雙曲線的解析式為．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．