Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，tan∠ACB=,點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）說明△AEF與△DCE相似；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【解析】（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴AO=BC，AB=OC，∠B=90°，∴在Rt△ABC中， AB=4，BC=3，由勾股定理，得AC=5．∴AO=3．∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴AO=DO．∴DO=3，

∴D（3，0）；

（2）點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴∠CDE=∠CAO，∴AC=CD=5．∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF，∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∠DEC=∠ACE+∠CAO，∴∠AFE=∠DEC．

∵在△AEF與△DCE中，，∴△AEF∽△DCE（AA）．

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當(dāng)CE=EF時，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，∴AE=CD=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，

∴E（2，0）；

②當(dāng)EF=FC時，∵∠FCE=∠FEC=∠ACB=∠CAE ,∴AE=CE   

設(shè)E（a ,0），∴OE²+OC²=CE²=AE²=（OA+OE）²  即： 

解得a=此時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）

③當(dāng)CE=CF時，E與D重合與題目矛盾．

綜上所述，當(dāng)△EFC為等腰三角形時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）