Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值；

（2）經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（≈2.24，結(jié)果保留一位小數(shù)）

　

Answer 1

解：（1）如圖1，過(guò)Q作QE⊥AC于E，連接PQ，

∵∠C=90°，

∴QE∥BC，

∴△ABC∽△AQE，

∴，

∵AQ=2t，AP=t，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴，

∴PE=，QE=，

∴PQ²=QE²+PE²，

∴PQ=t，

當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ的值最大，

∴當(dāng)t=5時(shí)，PQ的最大值=3；

（2）如圖1，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積=S_△AQP，

當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，S=AP•QE=t•=，（0＜t≤5）

當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積=S_{四邊形ABQP}，

∴S_{四邊形ABQP}=S_△ABC﹣S_△PQC=×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）=﹣t²+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式：S=或S=﹣t²+16t﹣40．

（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，

由（1）知QE=，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，

∴CQ====2，

①當(dāng)CQ=CP時(shí)，

即：2=8﹣t，

解得；t=，

②當(dāng)PQ=CQ時(shí)，

即；t=2，

解得：t=，t=（不合題意舍去），

③當(dāng)PQ=PC時(shí)，

即t=8﹣t，

解得：t=3﹣5≈1.7；

綜上所述：當(dāng)t=，t=，t=1.7時(shí)，△PQC為等腰三角形．