Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設點P，Q運動的時間為t秒．

（1）在運動過程中，求P，Q兩點間距離的最大值；

（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時的t值；若不存在，請說明理由（≈2.24，結(jié)果保留一位小數(shù)）

　

Answer 1

解：（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，

∵∠C=90°，

∴QE∥BC，

∴△ABC∽△AQE，

∴，

∵AQ=2t，AP=t，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∴，

∴PE=，QE=，

∴PQ²=QE²+PE²，

∴PQ=t，

當Q與B重合時，PQ的值最大，

∴當t=5時，PQ的最大值=3；

（2）如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積=S_△AQP，

當Q在AB邊上時，S=AP•QE=t•=，（0＜t≤5）

當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積=S_{四邊形ABQP}，

∴S_{四邊形ABQP}=S_△ABC﹣S_△PQC=×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）=﹣t²+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴經(jīng)過t秒的運動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式：S=或S=﹣t²+16t﹣40．

（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，

由（1）知QE=，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，

∴CQ====2，

①當CQ=CP時，

即：2=8﹣t，

解得；t=，

②當PQ=CQ時，

即；t=2，

解得：t=，t=（不合題意舍去），

③當PQ=PC時，

即t=8﹣t，

解得：t=3﹣5≈1.7；

綜上所述：當t=，t=，t=1.7時，△PQC為等腰三角形．