Question

如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從點A出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向點B運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿著CA以每秒3cm的速度向點A運動．設運動時間為x．
（1）當x為何值時，PQ∥BC？
（2）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：動點型

分析：（1）當PQ∥BC時，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關系式求出x的值．
（2）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值．

解答：解：（1）由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴

4x

20

=

30-3x

30

∴x=

10

3

（2）假設兩三角形可以相似
情況1：當△APQ∽△CQB時，CQ：AP=BC：AQ，
即有

3x

4x

=

20

30-3x

解得x=

10

9

，
經(jīng)檢驗，x=

10

9

是原分式方程的解．
此時AP=

40

9

cm，
情況2：當△APQ∽△CBQ時，CQ：AQ=BC：AP，
即有

3x

30-3x

=

20

4x

解得x=5，
經(jīng)檢驗，x=5是原分式方程的解．
此時AP=20cm．
綜上所述，AP=

40

9

cm或AP=20cm．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關鍵．