Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）與x軸交于點（x1，0）和（x2，0），與y軸交于點A，點E為拋物線頂點．

（Ⅰ）當(dāng)x1＝﹣1，x2＝3時，求點E，點A的坐標(biāo)；

（Ⅱ）①若頂點E在直線y＝x上時，用含有b的代數(shù)式表示c；

②在①的前提下，當(dāng)點A的位置最高時，求拋物線的解析式；

（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，當(dāng)P（1，0）滿足PA+PE值最小時，求b的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點A的坐標(biāo)為（0，3），點E的坐標(biāo)為（1，4）；（Ⅱ）①c＝；②；（Ⅲ）3+．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意和x1＝﹣1，x2＝3，可以得到點（﹣1，0），（3，0）在拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的圖象上，然后即可求得該拋物線的解析式，再將拋物線解析式化為頂點式，即可得到點A和點E的坐標(biāo)；

（Ⅱ）①將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，再根據(jù)題目中頂點E在直線y＝x上，即可得到c和b的關(guān)系；

②根據(jù)①的結(jié)果和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得當(dāng)點A的位置最高時，拋物線的解析式；

（Ⅲ）根據(jù)x1＝﹣1，b＞0和題目中的函數(shù)解析式，可以得到點A的坐標(biāo)，然后即可求得直線AP的解析式，再根據(jù)最短路線問題可以得到當(dāng)P（1，0）滿足PA＋PE值最小時b的值．

解：（Ⅰ）∵拋物線y＝﹣x2＋bx＋c（b，c為常數(shù)）與x軸交于點（x1，0）和（x2，0），與y軸交于點A，點E為拋物線頂點，x1＝﹣1，x2＝3，

∴點（﹣1，0），（3，0）在拋物線y＝﹣x2＋bx＋c的圖象上，

∴，解得，

∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，

∴點A的坐標(biāo)為（0，3），點E的坐標(biāo)為（1，4）；

（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝，

∴點E的坐標(biāo)為（，），

∵頂點E在直線y＝x上，

∴＝，

∴c＝；

②由①知，，

則點A的坐標(biāo)為（0，），

∴當(dāng)b＝1時，此時點A的位置最高，函數(shù)y＝﹣x2＋x＋，

即在①的前提下，當(dāng)點A的位置最高時，拋物線的解析式是；

（Ⅲ）∵x1＝﹣1，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c過點（x1，0），

∴﹣1﹣b＋c＝0，

∴c＝1＋b，

∵點E的坐標(biāo)為（，），點A的坐標(biāo)為（0，c），

∴E（，），A（0，b＋1），

∴點E關(guān)于x軸的對稱點E′（，﹣），

設(shè)過點A（0，b＋1）、P（1，0）的直線解析式為y＝kx＋t，

，得，

∴直線AP的解析式為y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），

∵當(dāng)直線AP過點E′時，PA＋PE值最小，

∴﹣＝（b＋1）（﹣＋1），

化簡得：b2﹣6b﹣8＝0，

解得：b1＝，b2＝

∵b＞0，

∴b＝，

即b的值是3＋．