Question

【題目】如圖1，在矩形中，是的中點，以點為直角頂點的直角三角形的兩邊EF、EG分別過點B、C．

（1）求證：；

（2）將繞點按順時針方向旋轉，當旋轉到與重合時停止轉動，若分別與相交于點（如圖2）．若，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△BMN面積的最大值為2．

【解析】

（1）由中點的定義可得AE=ED，根據(jù)矩形的性質可得AB=CD，∠BAE=∠CDE，利用SAS可證明△BAE≌△CDE，即可證明BE=CE；

（2）由（1）可知BE=CE，可得△BEC是等腰直角三角形，可得∠EBC=45°，根據(jù)矩形的性質可得∠ABE=45°，可證明△ABE是等腰直角三角形，可得AB=AE，由E為AD中點可得AD=2AB=4，根據(jù)矩形的性質可得BC的長，根據(jù)旋轉的性質可得∠BEM=∠CEN，利用ASA可證明△BEM≌△CEN，可得BM=CN，設BM=x，則BN=4-x，根據(jù)三角形面積公式可得S△BMN=x(4-x)=-(x-2)2+2，利用平方的非負數(shù)性質即可得答案．

（1）∵點E為AD中點，

∴AE=DE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

在△BAE和△CDE中，，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（2）∵BE=CE，∠BEC=90°，

∴△BEC是等腰直角三角形，

∴∠EBC=45°，

∴∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∵點E為AD中點，AB=2，

∴AD=BC=2AB=4，

∵將繞點按順時針方向旋轉，

∴∠BEM=∠CEN，

在△BEM和△CEN中，，

∴△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，

設MB=x，則BN=BC-CN=4-x，

∴S△BMN=BN·BM=x(4-x)=-(x-2)2+2，

∵(x-2)2≥0，

∴-(x-2)2+2≤2，

∴△BMN面積的最大值為2．