Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），且OB=OC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
答：拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)F，
由y=x²-2x-3，
令x=2，則y=-3，
∴點(diǎn)G為（2，-3），
設(shè)直線AG為y=kx+n（k≠0），
∴

-k+n=0 2k+n=-3

，
解得

k=-1 n=-1

，
即直線AG為y=-x-1，S_三角形APG
設(shè)P（x，x²-2x-3），則F（x，-x-1），PF=-x²+x+2，
∵S_三角形APG=S_三角形APF+S_三角形GPF
=

1

2

•（-x²+x+2）•（x+1）+

1

2

•（-x²+x+2）•（2-x）
=-

3

2

x²+

3

2

x+3，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，△APG的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

1

2

，-

15

4

)，S△APG的最大值為

27

8

，
答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（

1

2

，-

15

4

）位置時(shí)，△APG的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

1

2

，-

15

4

），△APG的最大面積是

27

8

．

（3）存在．
∵M(jìn)N∥x軸，且M、N在拋物線上，
∴M、N關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
設(shè)點(diǎn)M為（m，m²-2m-3）且m＞1，
∴MN=2（m-1），
當(dāng)∠QMN=90°，且MN=MQ時(shí)，
△MNQ為等腰直角三角形，
∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸，
∴2（m-1）=|m²-2m-3|，
即2（m-1）=m²-2m-3或2（m-1）=-（m²-2m-3），
解得m1=2+

5

，m2=2-

5

（舍）或m1=

5

，m2=-

5

（舍），
∴點(diǎn)M為（2+

5

，2+2

5

）或（

5

，2-2

5

），
∴點(diǎn)Q為（2+

5

，0）或（

5

，0），
當(dāng)∠QNM=90°，且MN=NQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，
同理可求點(diǎn)Q為（-

5

，0）或（2-

5

，0），
當(dāng)∠NQM=90°，且MQ=NQ時(shí)，△MNQ為等腰直角三角形，
過(guò)Q作QE⊥MN于點(diǎn)E，則QE=

1

2

MN=

1

2

×2(m-1)=|m2-2m-3|，
∵方程有解
∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對(duì)稱(chēng)性，
知點(diǎn)Q為（1，0），
綜上所述，滿足存在滿足條件的點(diǎn)Q，分別為（-

5

，0）或（

5

，0）或
（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0），
答：存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（-

5

，0）或（

5

，0）或（2+

5

，0）或（2-

5

，0）或（1，0）．