Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．試猜想線段AE、EF、BF之間的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：探究型

分析：根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，利用角平分線的定義得∠ACD=∠BCD=45°，由于AE⊥CD，則可判斷△ACE等腰直角三角形，得到AE=CE，同理得CF=FB，于是FB=CF=CE+EF=AE+EF．

解答：證明：FB=AE+EF．理由如下：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
又∵AE⊥CD，
∴△ACE等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，
∴∠DAB=45°，
又∵BF⊥CD，
∴△CFB為等腰直角三角形，
∴CF=FB，
∴FB=CF=CE+EF=AE+EF．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．