【題目】在四邊形ABDE中,CBD邊的中點.

(1)如圖(1),若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為   ;(直接寫出答案)

(2)如圖(2),AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°,則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論并證明;

(3)如圖(3),BD=8,AB=2,DE=8,若ACE=135°,則線段AE長度的最大值是   (直接寫出答案).

【答案】(1)AE=AB+DE;(2)AE=AB+DE+BD,證明詳見解析;(3)10+4(或?qū)懗?/span>10+

【解析】

(1)AE上取一點F,使AF=AB,及可以得出ACB≌△ACF,就可以得出BC=FC,ACB=ACF,就可以得出CEF≌△CED.就可以得出結(jié)論;

(2)AE上取點F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點G,使EG=ED,連結(jié)CG.可以求得CF=CG,CFG是等邊三角形,就有FG=CG=BD,進而得出結(jié)論;

(3)B關(guān)于AC的對稱點F,D關(guān)于EC的對稱點G,連接AF,F(xiàn)C,CG,EG,F(xiàn)G.

(1)AE=AB+DE;

理由:在AE上取一點F,使AF=AB,

AC平分∠BAE,

∴∠BAC=FAC.

ACBACF中,

∴△ACB≌△ACF(SAS),

BC=FC,ACB=ACF,

CBD邊的中點,

BC=CD,

CF=CD,

∵∠ACE=90°,

∴∠ACB+DCE=90°,ACF+ECF=90°,

∴∠ECF=ECD,

CEFCED中,

,

∴△CEF≌△CED(SAS),

EF=ED,

AE=AF+EF,

AE=AB+DE;

故答案為:AE=AB+DE;

(2)猜想:AE=AB+DE+BD,

證明:在AE上取點F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點G,使EG=ED,連結(jié)CG,

CBD邊的中點,

CB=CD=BD.

AC平分∠BAE,

∴∠BAC=FAC,

ACBACF中,

∴△ACB≌△ACF(SAS),

CF=CB,

∴∠BCA=FCA,

同理可證:CD=CG,

∴∠DCE=GCE,

CB=CD,

CG=CF,

∵∠ACE=120°,

∴∠BCA+DCE=180°﹣120°=60°,

∴∠FCA+GCE=60°,

∴∠FCG=60°,

∴△FGC是等邊三角形,

FG=FC=BD,

AE=AF+EG+FG,

AE=AB+DE+BD;

(3)作B關(guān)于AC的對稱點F,D關(guān)于EC的對稱點G,連接AF,F(xiàn)C,CG,EG,F(xiàn)G,

CBD邊的中點,

CB=CD=BD,

∵△ACB≌△ACF(SAS),

CF=CB,

∴∠BCA=FCA,

同理可證:CD=CG,

∴∠DCE=GCE,

CB=CD,

CG=CF,

∵∠ACE=135°,

∴∠BCA+DCE=180°-135°=45°,

∴∠FCA+GCE=45°,

∴∠FCG=90°,

∴△FGC是等腰直角三角形,

FC=BD,

BD=8,

FC=4,

FG=4,

AE=AF+FG+GE,

AE=AB+4+DE,

AB=2,DE=8,

AE≤AF+FG+EG=10+4,

∴當A、F、G、E共線時AE的值最大2,最大值為10+4

故答案為:10+4

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