Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，過點(diǎn)A作直線L，分別過B、C作BE⊥L，CF⊥L，E、F是垂足．證明：
（1）A、E、B、D四點(diǎn)共圓；
（2）DE=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OE、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=OA=OB=OD，即可得到A、E、B、D四點(diǎn)共圓．
（2）根據(jù)正弦定理可得

ED

sin∠EBD

=AB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠FAC=∠EBD，從而有sin∠FAC=

ED

AB

，在Rt△FAC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sin∠FAC=

FC

AC

，從而有

ED

AB

=

FC

AC

．由AB=AC就可得到ED=FC．

解答：證明：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OE、OD，如圖．
∵BE⊥EA，BD⊥AC，
∴∠BEA=∠ADB=90°．
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∴OE=OA=OB=OD，
∴A、E、B、D在以AB為直徑的圓上，
即A、E、B、D四點(diǎn)共圓．

（2）如圖，
∵四邊形AEBD是以AB為直徑的圓內(nèi)接四邊形，
∴

ED

sin∠EBD

=AB（正弦定理），∠FAC=∠EBD，
∴sin∠FAC=

ED

AB

．
在Rt△FAC中，有sin∠FAC=

FC

AC

，
∴

ED

AB

=

FC

AC

．
∵AB=AC，
∴ED=FC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、正弦定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)，運(yùn)用正弦定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)則是解決第（2）小題的關(guān)鍵．