Question

如圖，將邊長為4的正方形ABCO放置在直角坐標系中，使點A在x軸負半軸上，點C在y軸正半軸上．點M（t，0）在x正半軸上運動，過A作直線MC的垂線交y軸于點N．下列結(jié)論：
①CM=AN；           
②當t=4

2

-4時，直線AN垂直平分線段CM；
③若以點A、M、N三點構(gòu)成的三角形是等腰三角形，則點M的坐標是M（4

2

+4，0）；
④當點M的坐標是M（8，0）時，以B，M，N三點構(gòu)成的三角形是直角三角形． 
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：①證出△AON≌△COM，即可得到CM=AN；
②連接AC，利用勾股定理求出AC=AM即可判斷出△ACM是等腰三角形；
③舉出反例當M（4，0）時，CM=AC=4

2

，A、M、N三點構(gòu)成的三角形是等腰三角形；
④利用勾股定理求出BN²=4²+4²=16，MN²=8²+8²=128，BM²=4²+12²=160，判斷出BN²+MN²=BM²，得到以B，M，N三點構(gòu)成的三角形是直角三角形．

解答：解：①∵∠NCP+∠CNP=90°，∠NAO+∠ANO=90°，∠CNP=∠ANO，
∴∠NCP=∠NAO，
∵AO=CO，∠AON=∠COM，
∴△AON≌△COM，
∴CM=AN，故本選項正確；
②如圖1，連接AC，∵AO=4，OC=4，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∵AM=AO+OM=4+4

2

-4=4

2

，
∴△ACM是等腰三角形，
∴直線AN垂直平分線段CM，故本選項正確；
③當M（4，0）時，CM=AC=4

2

，A、M、N三點構(gòu)成的三角形是等腰三角形，故本選項錯誤；
④如圖2，當點M的坐標是M（8，0）時，MC的解析式是y=-

1

2

x+4，
AN的解析式是y=2x+8，可得N（0，8），
∴BN²=4²+4²=16，
MN²=8²+8²=128，
BM²=4²+12²=160，
∴BN²+MN²=BM²，
∴以B，M，N三點構(gòu)成的三角形是直角三角形，故本選項正確． 
故答案為①②④．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．