【題目】如圖所示, △ABC是直角三角形,∠A=90°,D是斜邊BC的中點,E,F分別是AB,AC邊上的動點,且DE⊥DF.
(1)如圖(1),連接AD,若AB=AC=17,CF=5,求線段EF的長.
(2)如圖(2),若AB≠AC,寫出線段EF與線段BE,CF之間的等量關(guān)系,并寫出證明過程.
【答案】(1)13;(2)EF2=BE2+CF2,證明過程見解析
【解析】
(1)由△ABC是等腰直角三角形,AD是斜邊的中線,可得:∠DAC=∠BAD=∠C=45°,AD=DC,AD⊥BC,又DE⊥DF,根據(jù)同角的余角相等可得∠EDA=∠CDF,從而可證:△AED≌△CFD,所以可得AE=CF,然后由勾股定理可得出答案;
(2)延長ED到P,使DP=DE,連接FP,CP,利用SAS得到△BED≌△CPD,利用全等三角形的性質(zhì)得到BE=CP,∠B=∠DCP,然后根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到EF=FP,然后求出∠FCP為直角,在直角三角形FCP中,利用勾股定理列出關(guān)系式,等量代換即可得證.
(1)∵在Rt△ABC中,AB=AC,AD為BC邊的中線,
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°,AD⊥BC,AD=DC,
又∵DE⊥DF,AD⊥DC,
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°,
∴∠EDA=∠CDF,
在△AED與△CFD中,,
∴△AED≌△CFD(ASA),
∴AE=CF,
∵AB=AC=17,CF=5,
∴AE=CF=5,AF=17-5=12,
在Rt△EAF中,由勾股定理得:;
(2)EF2=BE2+CF2;
如圖,延長ED到P,使DP=DE,連接FP,CP,
在△BED和△CPD中,,
∴△BED≌△CPD(SAS),
∴BE=CP,∠B=∠DCP,
∵DE⊥DF,DP=DE
∴EF=FP,
∵∠B=∠DCP,∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCP=90°,即∠FCP=90°,
在Rt△FCP中,根據(jù)勾股定理得:CF2+CP2=PF2,
∵BE=CP,PF=EF,
∴EF2=BE2+CF2.
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【題目】某區(qū)對即將參加中考的5000名初中畢業(yè)生進行了一次視力抽樣調(diào)查,繪制出頻數(shù)分布表和不完整的頻數(shù)分布直方圖,請根據(jù)圖表信息回答下列問題:
初中畢業(yè)生視力抽樣調(diào)查頻數(shù)分布表
視力 | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
4.0≤x<4.3 | 20 | 0.1 |
4.3≤x<4.6 | 40 | 0.2 |
4.6≤x<4.9 | 70 | 0.35 |
4.9≤x<5.2 | a | 0.3 |
5.2≤x<5.5 | 10 | b |
(1)本次調(diào)查的樣本容量為 ;
(2)在頻數(shù)分布表中,a= ,b= ,并將頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)若視力在4.6以上(含4.6)均屬正常,根據(jù)上述信息估計全區(qū)初中畢業(yè)生中視力正常的學(xué)生有多少人?
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AC為對角線,延長CD至點E使CE=CA,連接AE。F為AB上一點,且BF=DE,連接FC.
(1)若DE=1,CF=2,求CD的長。
(2)如圖2,點G為線段AE的中點,連接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=600,求證:AF+CE=AC.
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【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣4ax+c與直線y=kx+1(k≠0)交于y軸上一點A和第一象限內(nèi)一點B,該拋物線頂點H的縱坐標(biāo)為5.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接AH、BH,拋物線的對稱軸與直線y=kx+1(k≠0)交于點K,若S△AHB=,求k的值;
(3)在(2)的條件下,點P是直線AB上方的拋物線上的一動點(如圖2),連接PA.當(dāng)∠PAB=45°時,
ⅰ)求點P的坐標(biāo);
ⅱ)已知點M在拋物線上,點N在x軸上,當(dāng)四邊形PBMN為平行四邊形時,請求出點M的坐標(biāo).
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【題目】如圖1,△ABC中,點D是BC的中點,BE∥AC,過點D的直線EF交BE于點E,交AC于點F.
(1)求證:BE=CF
(2)如圖2,過點D作DG⊥DF交AB于點G,連結(jié)GF,請你判斷BG+CF與GF的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】在某次訓(xùn)練中,甲、乙兩名射擊運動員各射擊10發(fā)子彈的成績統(tǒng)計圖如圖所示,對于本次訓(xùn)練,有如下結(jié)論:①S甲2>S乙2;②S甲2<S乙2;③甲的射擊成績比乙穩(wěn)定;④乙的射擊成績比甲穩(wěn)定,由統(tǒng)計圖可知正確的結(jié)論是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
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【題目】根據(jù)對徐州市相關(guān)的市場物價調(diào)研,預(yù)計進入夏季后的某一段時間,某批發(fā)市場內(nèi)的甲種蔬菜的銷售利潤y1(千元)與進貨量x(噸)之間的函數(shù)的圖象如圖①所示,乙種蔬菜的銷售利潤y2(千元)與進貨量x(噸)之間的函數(shù)的圖象如圖②所示.
(1)分別求出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果該市場準備進甲、乙兩種蔬菜共10噸,設(shè)乙種蔬菜的進貨量為t噸,寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤之和W(千元)與t(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出這兩種蔬菜各進多少噸時 獲得的銷售利潤之和最大,最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在長方形ABCD中,AB=6,BC=8.
(1)求對角線AC的長;
(2)點E是線段CD上的一點,把△ADE沿著直線AE折疊.點D恰好落在線段AC上,與點F重合,求線段DE的長.
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【題目】已知射線AP是△ABC的外角平分線,連結(jié)PB、PC.
(1)如圖1,若BP平分∠ABC,且∠ACB=30°,寫出∠APB的度數(shù).
(2)如圖1,若P與A不重合,求證:AB+AC<PB+PC.
(3)如圖2,若過點P作PM⊥BA,交BA延長線于M點,且∠BPC=∠BAC,求:的值.
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