【題目】如圖,等腰ABC中,已知ACBC2 AB4,作∠ACB的外角平分線CF,點(diǎn)E從點(diǎn)B沿著射線BA以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)EBC的平行線交CF于點(diǎn)F

1)求證:四邊形BCFE是平行四邊形;

2)當(dāng)點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)時(shí),連接AF,試判斷四邊形AECF的形狀,并說(shuō)明理由;

3)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否存在t的值,使得以EFC的其中兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形?不存在的,試說(shuō)明理由;存在的,請(qǐng)直接寫出t的值.答:t________

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)四邊形AECF是矩形,理由見(jiàn)解析;(3秒或5秒或2

【解析】

1)已知EFBC,結(jié)合已知條件利用兩組對(duì)邊分別平行證明BCFE是平行四邊形;因?yàn)?/span>AC=BC,等角對(duì)等邊,得∠B=∠BACCF平分∠ACH,則∠ACF=∠FCH,結(jié)合∠ACH=∠B+BAC=∠ACF+FCH,等量代換得∠FCH=∠B,則同位角相等兩直線平行,得BECF,結(jié)合EFBC,證得四邊形BCFE是平行四邊形;

2)先證∠AED=90°,再證四邊形AECF是平行四邊形,則四邊形AECF是平行四邊形是矩形;ACBC,EAB的中點(diǎn),由等腰三角形三線合一定理知CEAB,因?yàn)樗倪呅?/span>BCFE是平行四邊形,得CFBEAEAECF,一組對(duì)邊平行且相等,且有一內(nèi)角是直角,則四邊形AECF是矩形;

3)分三種情況進(jìn)行①以EFCF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),則鄰邊BE=BC,這時(shí)根據(jù)S=vt=2t=, 求出t即可;②以CECF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),過(guò)CCDABD,AC=BC,三線合一則BD的長(zhǎng)可求,在RtBDC中運(yùn)用勾股定理求出CD的長(zhǎng),把ED長(zhǎng)用含t的代數(shù)式表示出來(lái),現(xiàn)知EG=CF=EC=EB=2t,在RtEDC中,利用勾股定理列式即可求出t;③以CEEF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),則CAAFBC,此時(shí)EA重合,則2t=AB=4, 求得t值即可.

1)證明:如圖1,∵ACBC,

∴∠B=∠BAC

CF平分∠ACH,

∴∠ACF=∠FCH

∵∠ACH=∠B+BAC=∠ACF+FCH,

∴∠FCH=∠B

BECF,

EFBC,

∴四邊形BCFE是平行四邊形

2)解:四邊形AECF是矩形,理由是:

如圖2,∵EAB的中點(diǎn),ACBC,

CEAB,

∴∠AEC90°,

由(1)知:四邊形BCFE是平行四邊形,

CFBEAE

AECF,

∴四邊形AECF是矩形

3秒或5秒或2

分三種情況:

①以EFCF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),如圖3

BEBC,即2t2

t ;

②以CECF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),如圖4,過(guò)CCDABD,

ACBC,AB4

BD2,

由勾股定理得:CD 6,

EG2EC2 , 即(2t262+2t22 ,

t5;

③以CEEF兩邊為鄰邊所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí),如圖5,CAAFBC,此時(shí)EA重合,

t2

綜上,t的值為秒或5秒或2秒;

故答案為: 秒或5秒或2秒.

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學(xué)生

專題

集合證明

PISA問(wèn)題

應(yīng)用題

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

小紅

70

75

80

85

小明

80

80

72

76

小亮

75

75

90

65

1)請(qǐng)算出小紅的平均分為多少?

2)該校根據(jù)四次專題考試成績(jī)的重要程度不同而賦予每個(gè)專題成績(jī)一個(gè)權(quán)重,權(quán)重比依次為x121,最后得出三人的成績(jī)(加權(quán)平均數(shù)),若從高分到低分排序?yàn)樾×、小明、小紅,求正整數(shù)x的值.

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