【題目】如圖,在正方形中,點、是正方形內(nèi)兩點,,,為探索這個圖形的特殊性質(zhì),某數(shù)學興趣小組經(jīng)歷了如下過程:
(1)在圖1中,連接,且
①求證:與互相平分;
②求證:;
(2)在圖2中,當,其它條件不變時,是否成立?若成立,請證明:若不成立,請說明理由.
(3)在圖3中,當,,時,求之長.
【答案】(1)①詳見解析;②詳見解析;(2)當BE≠DF時,(BE+DF)2+EF2=2AB2仍然成立,理由詳見解析;(3)
【解析】
(1)①連接ED、BF,證明四邊形BEDF是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明;②根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理證明;
(2)過D作DM⊥BE交BE的延長線于M,連接BD,證明四邊形EFDM是矩形,得到EM=DF,DM=EF,∠BMD=90°,根據(jù)勾股定理計算;
(3)過P作PE⊥PD,過B作BELPE于E,根據(jù)(2)的結(jié)論求出PE,結(jié)合圖形解答.
(1)證明:①連接ED、BF,
∵BE∥DF,BE=DF,
∴四邊形BEDF是平行四邊形,
∴BD、EF互相平分;
②設(shè)BD交EF于點O,則OB=OD=BD,OE=OF=EF.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°.
在Rt△BEO中,BE2+OE2=OB2.
∴(BE+DF)2+EF2=(2BE)2+(2OE)2=4(BE2+OE2)=4OB2=(2OB)2=BD2.
在正方形ABCD中,AB=AD,BD2=AB2+AD2=2AB2.
∴(BE+DF)2+EF2=2AB2;
(2)解:當BE≠DF時,(BE+DF)2+EF2=2AB2仍然成立,
理由如下:如圖2,過D作DM⊥BE交BE的延長線于M,連接BD.
∵BE∥DF,EF⊥BE,
∴EF⊥DF,
∴四邊形EFDM是矩形,
∴EM=DF,DM=EF,∠BMD=90°,
在Rt△BDM中,BM2+DM2=BD2,
∴(BE+EM)2+DM2=BD2.
即(BE+DF)2+EF2=2AB2;
(3)解:過P作PE⊥PD,過B作BE⊥PE于E,
則由上述結(jié)論知,(BE+PD)2+PE2=2AB2.
∵∠DPB=135°,
∴∠BPE=45°,
∴∠PBE=45°,
∴BE=PE.
∴△PBE是等腰直角三角形,
∴BP=BE,
∵BP+2PD=4 ,
∴2BE+2PD=4,即BE+PD=2,
∵AB=4,
∴(2)2+PE2=2×42,
解得,PE=2,
∴BE=2,
∴PD=2﹣2.
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【題目】如圖,等腰直角三角形分別沿著某條直線對稱得到圖形.若上述對稱關(guān)系保持不變,平移,使得四個圖形能夠圍成一個不重疊且無縫隙的正方形,此時點的坐標和正方形的邊長為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(2,3),與x軸的正半軸交于點G(1+,0);一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A,且交x軸于點P,交拋物線于另一點B,又知點A,B位于點P的同側(cè).
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)若PA=3PB,求一次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,當k>0時,拋物線的對稱軸上是否存在點C,使⊙C同時與x軸和直線AP都相切?如果存在,請求出點C的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,以下幾種說法中:①和是同位角;②和是同位角;③和是內(nèi)錯角;④和是同旁內(nèi)角;⑤和是同位角;⑥和是同位角;正確的個數(shù)是( )
A.3B.4C.5D.6
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【題目】如圖,在中, ,將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△DEC,點M是BC的中點,點P是DE的中點,連接PM,若BC =2,∠BAC=30°,則線段PM的最大值是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】如圖,四邊形ABCD向右平移一段距離后得到四邊形.
(1)找出圖中存在的平行且相等的四條線段(即四條線段全部互相平行且相等);
(2)找出圖中存在的四組相等的角;
(3)四邊形ABCD與四邊形的形狀、大小相同嗎?為什么?
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【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=k1x+b的圖象分別與x軸、y軸的正半軸交于 A,B 兩點,且與反比例函數(shù)y=交于 C,E 兩點,點 C 在第二象限,過點 C 作CD⊥x軸于點 D,AC=2,OA=OB=1.
(1)△ADC 的面積;
(2)求反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)的y=k1x+b表達式.
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【題目】已知M=(a+24)x3﹣10x2+10x+5是關(guān)于x的二次多項式,且二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為b和c,在數(shù)軸上A、B、C三點所對應的數(shù)分別是a、b、c.
(1)則a= ,b= ,c= .
(2)有一動點P從點A出發(fā),以每秒4個單位的速度向右運動,多少秒后,P到A、B、C的距離和為40個單位?
(3)在(2)的條件下,當點P移動到點B時立即掉頭,速度不變,同時點T和點Q分別從點A和點C出發(fā),向左運動,點T的速度1個單位/秒,點Q的速度5個單位/秒,設(shè)點P、Q、T所對應的數(shù)分別是xP、xQ、xT,點Q出發(fā)的時間為t,當<t<時,求2|xP﹣xT|+|xT﹣xQ|+2|xQ﹣xP|的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)把數(shù)軸補充完整.
(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù):3,﹣4,﹣(﹣1.5),﹣|﹣2|.
(3)用“<”連接起來._____________
(4)﹣|﹣2|與﹣4之間的距離是_________.
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